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高一数学必修5导学案

§1.1.1正弦定理

学习目标

1.掌握正弦定理的内容；

2.掌握正弦定理的证明方法；

3.会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．

学习过程

一、课前准备

试验：固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动．

思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系

精确地表示出来？

二、新课导学

※学习探究

探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直

角三角形中，角与边的等式关系.如图，在RtABC中，设BC=a，

AC=b，AB=c，

根据锐角三角函数中正弦函数的定义，

a

有sin

c

A

b

，sin

c

B

，又sinC1

c

c

，

从而在直角三角形ABC中，

abc

sinAsinBsinC

．

(

探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，

有CD=asinBbsinA，则

ab

sinAsinB

，

同理可得

cb

sinCsinB

，

从而

ab

c

sinAsinBsin

C

．

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类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.

新知：正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即

ab

c

sinAsinBsin

C

．

试试：

（1）在ABC中，一定成立的等式是（）．

A．asinAbsinBB.acosAbcosB

C.asinBbsinAD.acosBbcosA

（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于．

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即

存在正数k使aksinA，，cksinC；

（2）

ab

c

sinAsinBsin

C

等价于，

cb

sinCsinB

，

a

sin

c

Asin

C

．

（3）正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如

a

bsinA

sinB

；b．

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，

如sinAasinB

b

；sinC．

（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．

※典型例题

例1.在ABC中，已知A45，B60，a42cm，解三角形．

变式：在ABC中，已知B45，C60，a12cm，解三角形．

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例2.在ABC中，c6,A45,a2,求b和B,C．

变式：在ABC中，b3,B60,c1,求a和A,C．

三、总结提升

※学习小结

1.正弦定理：

ab

c

sinAsinBsin

C

2.正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，

还有②等积法，③外接圆法，④向量法.

3．应用正弦定理解三角形：

①已知两角和一边；

②已知两边和其中一边的对角．

※知识拓展

ab

sinAsinB

c

sinC

2R

，其中2R为外接圆直径.

学习评价

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※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A.很好B.较好C.一般D.较差

※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1.在ABC中，若

cos

cos

Ab

Ba

，则ABC是（）.

A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形

C．直角三角形D．等边三角形

2.已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，

则a∶b∶c等于（）.

A．1∶1∶4B．1∶1∶2C．1∶1∶3

D．2∶2∶3

3.在△ABC中，若sinAsinB，则A与B的大小关系为（）.

A.ABB.AB

C.A≥BD.A、B的大小关系不能确定

4.已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，则a:b:c=．

5.已知ABC中，A60，a3，则

abc

=．sinAsinBsinC

课后作业

1.已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120，解此三角形．

2.已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k(k≠0)，XX数k的取值X围为．

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§1.1.2余弦定理

学习目标

1.掌握余弦定理的两种表示形式；

2.证明余弦定理的向量方法；

3.运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．

学习过程

一、课前准备

复习1：在一个三角形中，各和它所对角的的相等，即=

=．

复习2：在△ABC中，已知c10，A=45，C=30，解此三角形．

思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？

二、新课导学

※探究新知

问题：在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b.

C

∵AC，

ba

∴ACAC

ABc

同理可得：

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