适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第五章三角函数第三节两角和与差二倍角的三角函数公式课件.pptxVIP

第三节两角和与差、二倍角的三角函数公式

第五章

内容索引

增素能精准突破

强基础增分策略

课标

解读

1.经历推导两角差余弦公式的过程，了解两角差余弦公式的意义.

2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.

增分策略

强基础

名称

公式

简记

使用条件

两角和的余弦

cos(a+β)=

cosacosβ-sinasinβ

两角差的余弦

cos(a-β)=

cosacosβ+sinasinβ

a,β∈R

两角和的正弦

sin(a+β)=

sinacosβ+cosasinβ

S

a+β

知识梳理

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

名称

公式

简记

使用条件

两角差的正弦

sin(a-β)=

sinacosβ-cosasinβ

S

a,β∈R

两角和的正切

tana+tanβ

tan(a+β)=1-tanatanβ

a+β

两角差的正切

tana-tanβ

tan(a-β)=1+tanatanβ

o

N

微思考诱导公式与两角和与差的三角函数公式有何关系?

提示诱导公式是两角和与差三角函数公式的特殊化，即将其中的一个角

替换为2hπ,0,π,等特殊角而得到的公式，因此可以用两角和与差的三角

函数公式来推证诱导公式.

微点拨辅助角公式及其应用

辅助角公式asina+bcosa=√a2+b2sin(a+g)(其中tal的实质是两

角和与差的正弦、余弦公式的逆用，通过该公式，将形如asina+bcosα的式子化为只含有一种角函数的式子的形式，在三角函数的化简、求值以及研究三角函数性质中具有重要的应用.

名称

公式

简记

使用条件

二倍角的正弦

sin2a=2sinacosa

a,β∈R

二倍角的余弦

cos2a=Cos²a-sin²o二

2cos²a-1二1-2sin2o

C₂a

a,β∈R

二倍角的正切

2tana

tan2a=1-tan2a

2a

倍角公式中，不仅限于2a是a的二倍，还有更广泛的含义，

即只要具备“二倍关系”即可，如：4a是2a的二倍，

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

的二倍等，这里蕴含了换元的思想

a是

2

x

-

微点拨二倍角的余弦公式及其变形

(1)二倍角的余弦公式有三种形式，适合在不同条件下使用，如果sina,cosa

的值已知，可用cos2a=cos²a-sin²a;如果只知cosa的值，则用cos2a=2cos²a-1;如果只知sina的值，则用cos2a=1-2sin²a.

2)对二倍角余弦公式进行变形可得降幂公式：

其实质是用倍角的余弦值表示单角正弦值的平方以及余弦值的平方，从降幂公式可以看出，在降幂的同时，角扩大为原来的2倍，因此又称“降幂扩角公式”.

常用结论

1.两角和与差的正切公式的变形：

(1)tana+tanβ=tan(a+β)(1-tanatanβ);

(2)tana-tanβ=tan(a-β)(1+tanatanβ).2.倍角公式的变形：

(2)升幂公式：1±sin2a=(sina±cosa)²;1+cos2a=2cos²a;1-cos2a=2sin²a.

3.辅助角公式：asina+bcosa=√a²+b²sin(a+φ),其中

4.在非直角三角形ABC中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.5.三倍角公式：sin3a=3sina-4sin³a,cos3a=4cos³a-3cosa.

1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”.

(1)存在角a,β,使得cos(a-β)=cosacosβ-sinasinβ成立.(√)(2)若a,β为锐角，则sin(a+β)sina+sinβ.(√)

(3)由于cos40°=2cos²20°-1,所以cos20°=±√¹+cax40~(×)

2.cos40cos80-cos50°sin100°=

答案_1

解析原式=cos40°cos80°-sin40°sin80°=cos(40°+80°)=cos120°

3.已知tana,tanβ是关于x的方程x²-5√3x+6=0的两个实数根，且a,β∈

,则α+β的值等于.

答案

解析由已知得tana+tanβ=5V³.anatanβ=6,因此

.又tana+tanβ=5√30,tanatanβ=60,所以