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第2课时求空间角
高考解答题专项四
求异面直线所成的角
求直线与平面所成的角
求二面角
方
法「几何法
考案引
空间向量法
核心素养
要语
考点一|异面直线所成的角
典例突破
例1.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,SA⊥平面ABCD,
AD=SA=2,AB=1,点E是棱SD的中点.
(1)证明:SC⊥AE;
(2)求异面直线CE与BS所成角的余弦值.
解以A为原点,AB,AD,AS的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间
直角坐标系如图所示,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,2,0),S(0,0,2),C(1,2,0),E(0,1,1),(1)SC=(1,2,-2),AE=(0,1,1),
∴SC·AE=1×0+2×1+(-2)×1=0,
则SC⊥AE,即SC⊥AE.
∴故异面直线CE与BS所成角的余弦值为
(2)CE=(-1,-1,1),BS=(-1,0,2),
∴CE·BS=(-1)×(-1)+0+1×2=3.
建系
选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系
找方向
确定异面直线上两个点的坐标,用坐标表示两
向量
异面直线的方向向量
计算
利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值
两异面直线所成角的范围是[0,受],即两异面
结论
直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值
方法总结用向量法求异面直线所成角的步骤
对点训练1如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是正方形,AF//DE,
AF=AD=2DE,AF⊥底面ABCD.
(1)证明:BD//平面CEF;
(2)求异面直线BD与CE所成角的余弦值.
(1)证明如图①,连接AC,交BD于点M,取CF的中点N,连接MN,NE.
因为底面ABCD是正方形,所以M是AC的中点,所以
又由AF//DE,AF=2DE,
所以MN//DE,MN=DE,
故四边形MNED是平行四边形,所以BD//NE.
又因为BD4平面CEF,NEC平面CEF,
所以BD//平面CEF.
图①
(2)解以A点为坐标原点,建立空间直角坐标系如图②所示,
设DE=a,则B(2a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),E(0,2a,a),则BD=(-2a,2a,0),
CE=(-2a,0,a),设异面直线BD与CE所成角的大小为0,则
所以异面直线BD与CE所成角的余弦值为
X
图②
考点二直线与平面所成的角
典例突破
例2.如图,已知ABCD和CDEF都是直角梯形,AB//DC,DC//EF,
AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD=∠CDE=60,二面角F-DC-B的平面角为60°设
M,N分别为AE,BC的中点.
(1)证明:FN⊥AD;
(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.
(1)证明在直角梯形ABCD中,AB//DC且∠BAD=60°,
∴DC⊥BC,又DC=3,AB=5,∴BC=2√3.
同理,在直角梯形CDEF中,CF=2√3,∴BC=CF.
又CD⊥CF且CD⊥BC,
∴∠BCF为二面角F-DC-B的平面角,∠BCF=60°∴△BCF为等边三角形.
又N为BC的中点,∴FN⊥BC.
又CFC平面BCF,CBC平面BCF且CBNCF=C,∴DC⊥平面BCF.
又FNC平面BCF,∴FN⊥DC.
又DCc平面ABCD,BCC平面ABCD且DCNBC=C,
∴FN⊥平面ABCD.
又ADC平面ABCD,∴FN⊥AD.
(2)解取AD中点P,连接NP.以N为原点,分别以NP,NB,NF的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系如图所示.
∵BC=2√3,AB=5,
∴B(O,√3,0),A(5,√3,0),F(0,0,3),D(3,-√3,0),C(O,-√3,0).
∴E(1,0,3),又M为EA中点,∴
设直线BM与平面ADE所成的角为0,
则sinθ=|cosn,BMl,
∴直线BM与平面ADE所成角的正弦值为
设n=(x,y,z)为平面ADE的法向量,且AD=(-2,-2√3,0),AE=(-4,-√3,3),
取y=√3,则x=-3,z=-3,
在斜线上选取恰当的点向平面引垂线
证明所作的角为直线与平面所成的角,其证明的主要依据是直线与平面所成角的定义
构造所在的三角形,利用三角形的知识求解
平面α的斜线,n为平面α的法向量,θ为斜
线AB与平面a所成的角)
定义法
线面角
方法总结求直线与平面所成角的两种方法
AB·n|(其中AB为
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