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浅析计算不定积分方法之第二类换元积分

不定积分的计算是高等数学的重要考点，第一类换元积分法的理论依据

是，之所以称其为第

f((x))(x)dxu(x)f(u)duF(u)CF((x))C

一类换元积分法是因为还有第二类换元积分法。



那第二类换元积分法的理论依据是什么呢?就是如果x(t)是单调，可



导的函数，且(x)0，设f((t))(t)具有原函数G(t)，则

1



f(x)dxx(t)f((t))(t)dtG(t)G[(x)]C

如果大家仔细观察会发现第二类换元法的上述的式子和第一类换元法其

实是同一个式子反过来用了，在第一类换元法中我们是凑微分，能不能做出

来其实主要取决于我们的微分能不能凑出来，所以我们是稍显被动的。然而



在第二类换元法中从上面的式子可以看出来我们可以主动令x(t)，那是不



是随意设(t)都可以呢？并不是的，我们的(t)要求是单调可导的函数，为



什么要单调呢？因为我们最终的表达式仍然是通过来表示的，也就要求(t)

x



必须存在反函数。那为什么要求(t)可导呢，因为在上面的表达始终我们看



到了(t)应为可微的。那是不是只要我们找到一个单调可导的(t)就可以用

它来代替以前的积分变量了呢？让我们看下面这个例子：

x

1etearctanu1

dxxetdttarctanudu

1x1et1earctanu1u2

虽然整个上面的表达式是没有问题的，但是这样做有什么意义呢？我们想换

元是因为想把复杂的变成简单的，但是上面的式子却和我们的想法背道而驰，

越化越复杂。所以看似主动权掌握在我们手里，但是越是这样我们就越要小

心使用我们的主动权，因为你会发现在实际做题过程中，一旦使用不小心都

会变成上面那个例子那样越化越复杂。所以，其实第二类换元法咱们只需注

意几种特殊的情况就好了。我们在不定积分计算的时候都不喜欢根号，那么

遇到根号下为一次函数的情况我们如何处理呢？让我们一起看一道例题：

1

dxxt2txt2

计算：先令（0）（因为要保证为单调且可导的）则

(1x)x

2tdt1

dx2tdt则原式变为2dt2arctantC,然而最后别忘了把t