高中数学_谈椭圆扁平的判定.pdf

谈椭圆扁平的判定

广东省中山一中高中部许少华

我们知道，椭圆的离心率满足，当越接近于1时，就越接近于，从而

就越小，此时，椭圆就越扁；当越接近于0时，就越接近，从而

就越近于，此时，椭圆就越接近于圆；下面我们来探究三个问题：

探究一：能否借助与来刻画椭圆的扁平程度？

首先，我们来看能否用来刻画椭圆的扁平程度，由于越接近，椭圆就越“圆”，

相差越大，椭圆就越“扁”，因此，可以用来刻画椭圆的扁平程度。当越接近于1

时，椭圆就越“圆”，当越小时，椭圆就越“扁”。

再看能否用来刻画椭圆的扁平程度，结合可以看出：越接近，就

越接近，也越接近，此时，椭圆就越“圆”；越接近，就越接近，无限大，

此时，椭圆就越“扁”。

显然，既可以用来刻画椭圆的扁平程度，也可以用来刻画椭圆的扁平程度。

探究二：为什么选用来刻画椭圆的扁平程度？

第一，椭圆的“圆”的程度用容易刻画，即越接近时，椭圆就越“圆”；但在

表示“扁”时，用很不明确，“无限大，此时，椭圆就越“扁””，大的程度无法把

握。

第二，对于椭圆，的范围是，的范围也是；且两者都可以较好的刻画

椭圆的扁平程度，表面上看它们具有等同的位置。将这两个量再放入圆锥曲线之中，就可以

发现选用是应该的。因为，在以后将要学习的双曲线、抛物线中，正好填补了与

的两种情况。考虑到整体内容，选用了。

探究三：将会有哪些变化？

例1、设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若

为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）

（A）（B）（C）（D）

解析：设椭圆方程为，由即

，选D；

评析：本题重在产生关于的关系式，将关系式转化为关于离心率的方程通过方

程产生结论。

例2、椭圆和圆有四个交点，其中

为椭圆的半焦距，则椭圆离心率的范围为（）

（A）（B）（C）（D）

解析：此题的本质是椭圆的两个顶点与一个在圆外、一个在圆内即：

评析：建立在条件的基础上，产生关于的不等关系式，再将其转化为关于离心率

的不等式是关键。

例3、已知c是椭圆(a＞b＞0)的半焦距，则的取值范围是（）

（A）(1，＋∞)（B）（，＋∞)（C）(1，)（D）(1,]

解析：由