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必威体育精装版微分几何陈维桓习题答案3
微分几何陈维桓习题
答案3
习题答案3
p.148习题4.1
1.求下列曲面的第二基本形式：
(1)√旋转椭球面：?SkipRecordIf...?；
(2)旋转椭圆抛物面：?SkipRecordIf...?；
(3)双曲抛物面：?SkipRecordIf...?；
(4)√一般柱面：?SkipRecordIf...?；(5)√劈锥曲面：?Skip
RecordIf...?.
解.(1)?SkipRecordIf...?，?SkipRecordIf...?，
SkipRecordIf...?，?SkipRecordIf...?
SkipRecordIf...?.
又
SkipRecordIf...?，?SkipRecordIf...?，
SkipRecordIf...?.
所以
SkipRecordIf...?，?SkipRecordIf...?，?SkipRecordIf...?，
SkipRecordIf...?.
(2)?SkipRecordIf...?，?SkipRecordIf...?，?SkipRecord
If...?，?SkipRecordIf...?.
SkipRecordIf...?，?SkipRecordIf...?，?SkipRecord
If...?，?SkipRecordIf...?.
(3)?SkipRecordIf...?，?SkipRecordIf...?，?SkipRecordIf...?.
不妨设?SkipRecordIf...?.则
SkipRecordIf...?，?SkipRecordIf...?，?SkipRecordIf...?，
SkipRecordIf...?.
(4)?SkipRecordIf...?，?SkipRecordIf...?，?SkipRecord
If...?，?SkipRecordIf...?，
SkipRecordIf...?，?SkipRecordIf...?，?SkipRecordIf...?.
(5)?SkipRecordIf...?，?SkipRecordIf...?，?SkipRecordIf...?，
SkipRecordIf...?，
SkipRecordIf...?，?SkipRecordIf...?，?SkipRecordIf...?，
SkipRecordIf...?.□
2.求下列曲面的第二基本形式：(3)?SkipRecordIf...?，?Skip
RecordIf...?是常数.
解.由条件知在曲面上?SkipRecordIf...?，并且
SkipRecordIf...?，即?SkipRecordIf...?.(1)因此?SkipRecord
If...?是曲面的法向量.不妨设?SkipRecordIf...?.则单位法向量
SkipRecordIf...?.
于是
SkipRecordIf...?
由于?SkipRecordIf...?，故曲面的第二基本形式为
SkipRecordIf...?.
如果由(1)解出?SkipRecordIf...?，再代入上式可得
SkipRecordIf..
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