高中数学函数的极值旧人教高中选修本(理).pdf

函数的极值

目的要求

1．了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用．

2．增强学生数形结合的思维意识，提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能

力．

内容分析

1．本节课是从函数图象出发，向学生介绍函数极大值、极小值、极值、极值点的有关

/PGN0132B.TXT/PGN概念；在此基础上介绍利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法．

2．本小节内容是导数在研究函数性质方面的应用的继续深入．它是上一节的继续并为下一节

做准备，是本章的重要知识点，也是导数应用的关键知识点．通过对函数极值的判定，可使

学生加深对函数单调性与其导数关系的理解；掌握了函数极值的判别法，就为学生下一节学

习函数最大、最小值的判定铺平了道路．

3．本节的重点是正确理解函数极值的概念，学会用导数判别函数极值的方法并能灵活应用．难

点是正确掌握“点是极值点”的充分条件及必要条件，使学生灵活应用导数去解决有关函数

极值方面的问题，并逐步养成用数形结合的思想方法去分析和解决问题的习惯．

4．在教学过程中，函数极值的有关概念和求解方法的讲授要注意与函数的图象相结合，养成

学生数形结合思考问题的习惯．借助多媒体辅助教学去加深学生对它们的理解，提高教学效

率．为使学生能清楚地掌握“点是极值点”的充分条件或必要条件，适当地补充一些实例，

包括导数不存在时的例题，加强练习以提高学生的解题能力．

教学过程

本节课学习“函数的极值”．

1．复习引入

问题1对于函数y＝f(x)＝2x3－6x2＋7，利用函数的导数讨论它在R上的单调性．(此题为

上一节例2的变式．多媒体展示)

同学解答并请上台板演，以帮助复习上节课的知识．老师讲评后，用多媒体展示老师自己的

解答和函数图象(略)．/PGN0133A.TXT/PGN

2．新授

观察函数y＝f(x)＝2x3－6x2＋7图象可知，函数值f(0)比临近x＝0点的其他函数值都要大；

函数值f(2)比临近x＝2点的其它函数值都要小．由老师给出函数的定义．(略)

(此时，多媒体画面上的问题1及其图形向左上方适当缩小，在同一画面的右边分段逐渐显示

定义)

强调“临近点”的含义，指出函数极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整

个定义域内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．

(多媒体画面上的图形与文字再次向上方适当缩小，在同一画面的下方显示如下图形——图

44－1．有f(x1)＜f(x2))

问题2观察图形，说出在极值点附近函数切线的斜率的正负变化与函数的极值有何关系．(多

媒体画面中，极值的定义与图2消失，问题1的图形适当增大，并增加展示出图象上点(x0，

f(x0))处的切线x0变化的动画．给出问题2)

在老师的引导下，不难得出：曲线在极值点处切线的斜率为0(本例题中，极值点处的导数为

0)；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，

右侧为正．

(此时，多媒体画面上的图形及问题2向左上方适当缩小，在同一画面的右边分段逐渐显示出

判别f(x0)是极大、极小值的方法(略))

3．例题与练习

讲解与展示解题过程与图象时，要使学生能够清楚老师的思维过程、求解的一般步骤与书写

的格式．

(结合例1展示利用导数求函数极值的步骤(略))

练习1教科书第136页练习第(1)、(2)题．

请两名学生上讲台板演，其他同学在自己的座位上独立完成，老师巡回检查．讲解后，展示

老师的解法、书写和图形．

说明：

导数为0的点不一定是极值点．如函数f(x)＝x3，在x＝0处的导数是0，但它不是极值点．(展

示此函数的图形)

例2求y＝(x2－1)3＋1的极值．(教科书上例2，解略)

讲解时应阐述清楚老师的思路与解题的步骤，完整展示书写的格式与函数的图象．并着重说

明：导数为0的点不一定是极值点．对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要条件而非

充分条件．/PGN0134A.TXT/PGN

练习2教科书第136页练习第(3)、(4)题．

补充例题1已知函数f(x)＝|x|，在x＝0处函数极值的情况是

[]

A．没有极值

B．有极大值

C．有极小值

D．极值情况不能确定

解：当x＞0时，f(x)＝x，知f′(x)＝1＞0；

当x＜0