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高等数学例题精选

1、函数有理表示

（1）设f(x)是不定积分Φdx，

（2）证明当函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且其一阶导数f′（x）在区

间[a,b]上无穷小时，

（3）结论：存在常数C，使得

Φdx=f(b)-f(a)+C

（4）证明：

因为f′（x）在区间[a,b]上无穷小，所以可以认为f′（x）在区间[a,b]上

等于零。按定积分形式，有

Φdx=f(b)-f(a)-∫abf′(x)dx

∫abf′（x）dx等于f′（x）在区间[a,b]上的积分，即∫abf′（x）dx=0，

则有

Φdx=f(b)-f(a)+C

综上所述，当函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且其一阶导数f′（x）在

区间[a,b]上无穷小时，存在常数C，使得Φdx=f(b)-f(a)+C，证毕。

2、序列极限

（1）设{an}是数列，

（2）证明当a1，a2，a3，……,an趋近某一数字A时，满足

a1+a2+a3+…+an一定收敛到A

（3）结论：

当a1，a2，a3，……,an趋近某一数字A时，a1+a2+a3+…+an一

定收敛到A

（4）证明：

假设a1，a2，a3，……，an趋近A，则存在N使得当nN时，

anA-δ，其中δ为任意正数，即

a1+a2+a3+…+an(A-δ)+(A-δ)+…+(A-δ)=n(A-δ)

又由于an趋近A，可得anA+δ，即

a1+a2+a3+…+an(A+δ)+(A+δ)+…+(A+δ)=n(A+δ)

由于δ是任意正数，故有

n(A-δ)a1+a2+a3+…+ann(A+δ)

即

A-δ(a1+a2+a3+…+an)/nA+δ

当n→∞时，由于A-δ和A+δ都是常数，有

A-δ(a1+a2+a3+…+an)/nA+δ

即

A-δlim(a1+a2+a3+…+an)/nA+δ

又由于上式中lim(a1+a2+a3+…+an)就是a1+a2+a3+…+an的极

限，所以

a1+a2+a3+…+an一定收敛到A，即

lim(a1+a2+a3+…+an)=A

综上所述，当a1，a2，a3，……,an趋近某一数字A时，a1+a2+

a3+…+an一定收敛到A，证毕。