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微积分题型总结

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微积分题型总结

第一部分函数

函数是整个高等数学研究的主要对象，因而成为考核的对象之一。特别是一元函数的

定义和性质，其中包括反函数、复合函数、隐函数、初等函数和分段函数的定义和性质。

一、重点内容提要

1、函数定义中的关键要素是定义域与对应法则，这里

要特别注意两点：

①两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同

时，才能说它们是相同的函数。

②分段函数是一个函数而不是几个函数。

求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可

不用区间表示）

对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是

使这个式子有意义的自变量x的取值范围（集合）

主要根据：

①分式函数：分母≠0

②偶次根式函数：被开方式≥0

③对数函数式：真数式＞0

④反正（余）弦函数式：自变量

x1

例1求函数yxx的定义域。

ln(x2y)

例2求函数的定义域。

4x2y2

2x

例3y=的定义域

1-2x

.

例4yln(x23x)arccosx

在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几

个不等式组成不等式组解之。

2、关于反函数定义，我们仅要求掌握变量反解法。

3、函数的简单性质，重点掌握奇偶性、单调性。

4、关于复合函数定义

将复合函数拆成基本初等函数或基本初等函数经四

则运算形成的函数，这在求导和积分类型题中是不可

避免的。

1

指出ysinearctanx的复合过程

5、隐函数：主要在后面求导数及应用中用到

6、注意初等函数的定义。注意分段函数不是初等函数。

二、典型例题

类型题1、求函数定义域

例1求函数4x的定义域.

f(x)

lg(x1)

解要使函数表达式有意义，x要满足：

4x0x4



即

x10x1





lg(x1)0x2



所以函数的定义域为（1，2）（2，4］.



1,0x1

例2求函数f(x)=的定义域.



1,1x2



解函数f(x)的定义域是[0，2].

小结：注意，对于分段函数，它的定义域为所有分段

区间的并集。

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如:(1)函数f(x)x1x2的定义域是；



lnx1

(2)函数y