不定积分分部积分法教案.pdf

第四章不定积分（§3分部积分法）

第三节分部积分法

教学内容：分部积分法

教学目的：理解分部积分法的思想方法,能针对不同类型函数之积的被积函数，正确选取

u,v

，熟练掌握分部积分法的步骤。

教学重点：分部积分法及其应用

u,v

教学难点：在分部积分法中，恰当选取.

教学学时:1学时

教学进程：

我们知道,求不定积分是求微分的逆运算．导数公式不定积分公式；复合函数的求导

公式换元积分公式;乘积求导公式分部积分公式（不同类型函数乘积的积分)。

1引入



用我们已经掌握的方法求不定积分xcosxdx

分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。

②凑微法失效.xcosx

③第二类换元积分法

解：不妨设cosxt则xarccost

1

原方程tarccostdt更为复杂

1t2

所以凑微法和第二换元积分法都失效。

u,v

反之考虑,两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设为两个具

有连续导数的函数）

已知：(uv)uvuv



对上式两边积分得：uvCuvdxuvdx



移项得:uvdxuvuvdx

v

观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：uvdx中为导数形式。

故,我们可以尝试来解一下上面的积分.



xcosxdx

先要化的和要求积分的形式一样



x(sinx)dx



xsinxxsinxdx

xsinxcosxC

1

第四章不定积分（§3分部积分法）

通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述

的“分部积分法”。

2公式

uu(x)vv(x)

设函数和都具有连续的导数，则有分部积分公式：



uvdxuvuvdx(或udvuvvdu)

3例题讲解

x

例1．计算不定积分xedx．

xx

uxveu1ve

解设，，则,（＊），

xxxx