考研数学二(常微分方程)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析).pdf

考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2004年)微分方程y〞＋y＝χ2＋1＋sinχ的特解形式可设为【】

A．y*＝aχ2＋bχ＋c＋χ(Asinχ＋Bcosχ)．

B．y*＝χ(aχ2＋bχ＋c＋Asinχ＋Bcosχ)．

C．y*＝aχ2＋bχ＋c＋Asinχ．

D．y*＝aχ2＋bχ＋c＋Acosχ．

正确答案：A

解析：方程y〞＋y＝0的特征方程为ρ2＋1＝0，其特征根为ρ＝±i，因此

方程y〞＋y＝χ2＋1＋sinχy*＝aχ＋bχ＋C＋χ(Asinχ＋Bcosχ)故

应选A．知识模块：常微分方程

2．(2006年)函数y＝C1eχ＋C2e－2χ＋χeχ满足的一个微分方程是

【】

A．y〞－y′－2y＝3χeχ．

B．y〞－y′－2y＝3eχ．

C．y〞＋y′－2y＝3χeχ．

D．y〞＋y′－2y＝3eχ．

正确答案：D

解析：由y＝C1eχ＋C2e－2χ＋χeχ知，齐次方程的两个特征根分别为1

和－2，所以只有C和D项可能是正确的选项，将y＝χeχ代入D项中方程知

其满足该方程，则应选

D．知识模块：常微分方程

3．(2008年)在下列微分方程中，以y＝C1eχ＋C2cos2χ＋C3sin2χ(C1，

C2，C3为任意常数)为通解的是【】

A．＋y〞－4y′－4y＝0．

B．＋y〞＋4y′＋4y＝0．

C．－y〞－4y′＋4y＝0．

D．－y〞＋4y′－4y＝0．

正确答案：D

解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1＝1，ρ2，3＝±2i则

其特征方程为(ρ－1)(ρ2＋4)＝0，故所求方程应为y″′－y〞＋4y′－4y＝0

故应选

D．知识模块：常微分方程

4．(2010年)设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y′＋p(χ)y＝q(χ)的两

个特解，若常数λ，μ使λy1＋μy2是该方程的解，λy1－μy2是该方程对应

的齐次方程的解，则【】

A．

B．

C．

D．

正确答案：A

解析：由于λy1＋μy2为方程y′＋p(χ)y＝q(χ)的解，则(λy1＋μ

y2)′＋p(χ)(λy1＋μy2)＝g(χ)即λ(y′1＋p(χ)y1)＋μ(y′2＋p(χ)y2)

＝q(χ)λq(χ)＋μ(χ)＝q(χ)λ＋μ＝1(1)由于λy1－μy2

为方程y′＋p(χ)y＝0的解，则(λy1－μy2)′＋p(χ)(λy1－μy2)＝0

λ(y′1＋p(χ)y1)－μ(y′2＋p(χ)y2)＝0λq(χ)－μq(χ)＝0λ－μ

＝0(2)由(1)式和(2)式解得λ＝μ＝知识模块：常微分方程

5．(2011年)微分方程y〞－λ2y＝eλχ＋e－λχ(λ＞0)的特解形式为

【】

A．aχ(eλχ＋e－λχ)．

B．aχ(eλχ＋e－λχ)．

C．χ′〞(aeλχ＋be－λχ)．

D．χ2(aeλχ＋be－λχ)．

正确答案：C

解析：方程y〞－λ2y＝0的特征方程为r2－λ2＝1