适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第九章平面解析几何高考解答题专项五第2课时求值最值与范围问题课件.pptx

第2课时求值、最值与范围问题

高考解答题专项五

直观想象：解最值、范围问题时，用图形帮助解题，体现了直观想象核心素养

逻辑推理：解最值、范围问题时，需要通过直线、圆锥曲线以及函数、不等式等知识，推出所求结论，体现了逻辑推理核心素养

数学运算：解最值、范围问题时，一般都需要直线方程与圆锥曲线方程联立，用韦达定理、函数、基本不等式等知识运算，体现了数学运算核心素养

建立目标函数法

求最值(范围)

构造基本不等式法求最值

条件转化法求

最值

最值问题

范围问题

考点索引

方法要语

核心素养

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点的直线与椭圆E交于P,Q两点，直线AP,AQ分别交椭圆E于

M,N两点，求直线MN的斜率.

例1.(2023江西南昌一模)已知椭圆

解(1)根据椭圆的对称性可知，由于关于y轴对称，必同时在

椭圆上，

若椭圆还经过点A,(0.1),贝,将点，代入椭圆方程得

,求得a=2,可得椭圆方程为

若椭圆经过点A(4,0),则a=4,将点的坐标代入椭圆方程可得

·

2

解得,不合题意.

综上所述，椭圆方程，

.

(2)易知A,B两点都在椭圆外，设P(xjy₁),Q(x₂,Y₂),M(xʒ,Y₃),N(x₄,Y₄),

设直线PQ的方程为x=m

由于直线PQ过点

设直线AP的方程为

y+t,则x₁=my₁+t,x₂=my₂+t.

则有3m+2t=-5,①

7

联立

可得

所以

则

,同理可得

同理，设直线AQ的方程为

.

直线MN的斜率为

规律方法直线与圆锥曲线的求值问题的解题思路

(1)翻译转化：将几何关系恰当转化(准确、简单),变成尽量简单的代数式子；

反之，将代数关系恰当转化为几何关系.

(2)消元求值：对所列出的方程或函数关系式进行变形、化简、消元、计算，

最后求出所需的变量的值.

(3)代数求值：依据题中所给条件，利用代数方法转化为所求值所需要的量，

再用求出的量作为条件进行求值.

对点训练1(2023北京海淀一模)已知椭圆的左、右顶点

分别为A₁A₂,上、下顶点分别为B₁,B₂,|B₁B₂|=2,四边形A₁B₁A₂B₂的周长为4√6.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设斜率为k的直线l与x轴交于点P,与椭圆E交于不同的两点M,N,点M关

于y轴的对称点为M,直线MN与y轴交于点Q.若△OPQ的面积为2,求k的值.

解(1)由|B₁B₂|=2,得2b=2,即b=1.

易知四边形A₁B₁A₂B₂为菱形，其周长为4√6,

得4√a²+1²=4√6,即a²=5,

故椭圆的方程

(2)设直线l的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0),M(xi,yi),N(x₂₂y₂),则

联立方程组消去)6E+De²+10ti50

d=(10km)²4(5K²+1)(5m²-5)0,得

,得

经检验知符合题意，故k的值为士

直线MN的方程为

··

考点二圆锥曲线中的最值问题

考向1.建立目标函数求最值

例2.(2023全国甲，理20)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y²=2px(p0)交于A,B

两点，且|AB|=4√15.

(1)求p;

(2)设F为C的焦点，M,N为C上两点，FM·FN=0,求△MNF面积的最小值.

解(1)联立整理得y²-4py+2p=0,则A=16p²-8p0,又p0,∴p

设A(xi,y₁),B(xz,yz),

则yi+y₂=4p,y₁y₂=2p.

解得舍)或p=2.∴p=2.

(2)由(1)知抛物线C的方程为y²=4x,F(1,0).设M(x₃,y₃),N(x₄,Y₄),lnn:x=my+n,

由得y²-4my-4n=0,

则△₁=16m²+16n0,y₃+y4=4m,y₃y4=-4n.

FM·FN=(x₃-1)(x₄-1)+y₃y4

=(my₃+n-1)(my₄+n-1)+y₃Y₄

=(m²+1)y₃Y₄+m(n-1)(y₃+y₄)+(n-1)²

=-4m²n-4n+4m²n-4m²+n²-2n+1=0,

∴4m²=n²-6n+1≥0,

=n²-2n+1=(n-1)²,

∴当n=3-2√2时，SMNF=12-8√2为最小值.∴△MNF面积的最小值为12-8√2.

又△₁=16m²+16n=4(n-1)²0,∴n≠1,∴n≥3+2√2,或n≤3-2√2.

注意自变量的取值范围

求最值

对点训练2如图，已知椭.设A,B是楠圆上异