适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第六章数列第四节数列求和课件.pptx

第六章第四节数列求和

课标

解读

1.巩固等差数列、等比数列前n项和公式.

2.掌握数列求和的裂项相消求和法、错位相减求和法、拆项分组求和

法、并项转化求和法、倒序相加求和法，能够解决数列的求和问题.

增分策略

强基础

2.裂项相消求和法：裂项相消求和法就是把数列的各项变为两项之差，使得

相加求和时一些正负项相互抵消，前n项和变成首尾若干少数项之和，从而求出数列的前n项和.

知识梳理

数列求和的常用方法

1.公式法

(1)等差数列前n项和公式

(2)等比数列前n项和公式

3.错位相减求和法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数

列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和可运用错位相减求和法.

4.拆项分组求和法：如果一个数列的各项是由几个等差数列和等比数列的

项相加减得到的，那么可以把数列的每一项拆成多个项或把数列的项重新分组，使其转化成等差数列或等比数列，然后利用等差数列、等比数列的求和公式求和.

5.并项转化求和法：在求数列的前n项和时，如果一个数列的项是正负交错

的，尤其是当各项的绝对值又构成等差数列时，可以先将相邻的两项或几项合并，然后再利用其他相关的方法进行求和.

6.倒序相加求和法：如果一个数列{a,}中，与首末两端等“距离”的两项的和

相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可运用倒序相加求和

氵土

7云.

常用结论

1.常用裂项公式

2

(2)1+3+5+…+(2n-1)=n²;

2.常用求和公式

2)数列的前n项和等于

(3)数列1,-3,5,-7,9,-11,…的前100项的和等于-100.(√)

(4)若数列{an}的通项公式是前n项和为S,则

S3o=240.(√)

对点演练

1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”.

()

A.2022B.2023

C.2024D.2025

答案B

解析因为,所以数列{an}的前n项和

得n=2023.故选B.

若数列{an}的前n项和

2.在数列{an}中，已知

则项数n为

由

·

3.数列[a,]的通项公式为(n∈N).该数列的前8项和

为

答案

解析设数列{an}的前n项和为Sm.因为

增素能精准突破

典例突破

例1.(2023山东济南一模)各项均为正数的数列{an},其前n项和记为Sn,且满

足Vn∈N”,都有

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设证明：

考点一

整理得an+an-1=(an+am₁)(an-Qm₁),

因为an0,所以an-am₁=1,

当n=1时，2a₁=a}+ai,因为a₁0,所以a₁=1,

所以数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列，

所以an=n.

(1)解因为2S=a2+am,当n≥2时，两式作差得

当n=1时，

(2)证明由题意可知

.得证.

名师点析裂项相消求和法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新

组合使之能消去一些项，最终达到求和的目的.利用裂项相消求和法的关键是分析数列的通项，考察其是否能分解成两项的差，在裂项求和的过程中，还要注意以下几点：

(1)注意通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差，有时恰好等于两项之

差，有时则是倍数关系，需要在裂开的式子前面乘上一个系数；

(2)注意在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，有时可能前面

剩下了两项，后面也剩下了两项.

对点训练1已知数列{an}满足

(1)证明：是等比数列；

(2)设,证明：

··

所以；是首项为公比为的等比数列.

以此类推可知，对任意的n∈N*,an0,

证明()因为

由已知

即

2

考点二错位相减求和法

典例突破

例2.(2023全国甲，理17)记S,为数列{a,}的前n项和，已知a₂=1,2S,=na

(1)求{a,}的通项公式；

(2)求数列的前n项和T.

解(1)由题意可知，2S=na,,①

当n≥2时，2S=(n-1)a,②

①-②得2a,=na,-(n-1)an-1:

∴(n-1)an-1=(n-2)a,·

(方法1构造数列)当n≥3时

当n=2时，,∴an=n-1(n≥2),

当n=1时，2a₁=a₁,a₁=0,满足上式，∴a₁=n-1(n∈N*).

是从第2项开始的常数数列，

J

∴