适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用指点迷津四课件.pptx

第四章指点迷津(四)

破解“双变量问题”的基本策略

在近几年的高考试题中，常常涉及“双变量”的相关问题，以求参数的取值范

围和证明不等式为主，这类问题难度较大，对能力要求较高.破解这类问题的关键：一是转化，由已知条件入手，寻找双变量所满足的等量关系，将双变量化为单变量进行求解；二是巧妙构造函数，再借助导数，研究函数的单调性、极值和最值，进而解决问题.

一、利用两变量间的等量关系化为单变量求解

在双变量问题中，如果能够依据题目条件得出双变量所满足的等量关系式，

则可转化为含单变量的问题，然后再构造函数，利用导数研究该函数的单调性、极值，进而解决问题.

例1.已知函数fx)=x-x,且fx)有两个极值点x₁x₇,其中x₁∈(1,2),则

f(x₁)-f(x₂)的最小值为()

A.3-51n2B.3-41n2

C.5-31n2D.5-51n2

答案A

解析(v)的定义城为!

令f(x)=0,则x²+ax+1=0必有两根

所以a2.c-=2

当x∈[1,2]时，h’(x)0,h(x)单调递减，所以h(x)min=h(2)=3-5ln2,

故f(x₁)-f(x₂)的最小值为3-5ln2,故选A.

对点训练1已知x=x₁和x=x₂分别是函数f(x)=2a-ex²(a0且a≠1)的极小值点

和极大值点.若x₁x₂,则a的取值范围是

答案

解析依题意f(x)=2alna-2ex,xjx₂为方程f(x)=0的两根

令g(x)=a^lna-ex,则g(x)=a²(lna)²-e.

若a1,则g(x)在R上单调递增，此时由x₁,x₂为方程f(x)=0的两根，可知存在

X₀∈(x₁x₂),使g(x)=0,所以g(x)在区间(-o,x₀)上单调递减，在区间(x₀,+x)上单

调递增.

又g(x₁)=0,g(x₂)=0,所以f(x)在区间(-o,x₁)内单调递增，在区间(x₁₂x₂)上单调递

减，在区间(xz,+o)上单调递增，所以x₁为f(x)的极大值点，x₂为f(x)的极小值点，不符合题意，舍去.

若Oa1,则g(x)在R上单调递减，同理，存在x₀∈(xj,x₂),使g(x)=0,此时x₁为

f(x)的极小值点，x₂为f(x)的极大值点，满足题意.

因为xo存在，所以g(xo)=aXolna-exo0,g(xo)=a*0(lna)²-e=0,所以xo=log。

因为0a1,所以

所以In,所以Ina1-In(lna)?,所以In(lna)²0,即(lna)²1.

又0a1,所以lna0,所以-1lna0,

例2.已知函数f(x)=x-2all(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若x₁x₂为函数f(x)的两个极值点，证明：

·

(1)解x0,令x²-2ax+1=0,A=4a²4.当A≤0,即-1≤a≤1时f(x)≥0,f(x)在(0,+o)上单调递增；当A0,即a1或a-1时，

①当a-1时，-2ax0,f(x)0.f(x)在(0,+o)上单调递增；

②当a1时，令

X

(0,x₁)

x₇,+o)

f(x)

十

U

一

0

十

f(x)

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

综上，当a≤1时，f(x)在(0,+o)上单调递增；

Z_1,+o)上单调递增，在

上单调递减

当a1

当时，f(x)在(0,+α)上单调递增，g(t)=-f(t),则

g(t)在(1,+o)上单调递减，所以g(t)g(1)=0,故原不等式得证.

(2)证明由(1)知当a1时f(x)有两个极值点xj₂xz,且x₁+x₂=2a,x₁X₂=1,不妨设

x₂1x₁0,

对点训练2已知函数f(x)=kx²+2x-lnx

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若函数f(x)有2个极值点x₁x₂,证明：f(x₁)+f(xz)3.

(1)解fx)=k²+2clnx(x0),所以.

①若k=0,则f(x)在区间内单调递减，在区间上单调递增；

②若k≠0,令t(x)=2kx²+2x-1(x0),A=4+8k,当k0时，A0,由t(x)0,得 ;由t(a)0,得

所以f(x)在区间内单调递减，在区间上单调递增；

当时，同理可得，(x)在区间和