曹广福版实变函数与泛函分析第四章答案.pdf

第四章习题参考解答

第四章习题参考解答

1．设f(x)是上的可积函数，如果对于上的任意可测子集，

EEA

有f(x)dx0，试证：f(x)，a.e.[E]

A

证明：因为1，而，1

E{x|f(x)0}E{x|f(x)}E{x|f(x)

kN}

kk

k1

11

E{x|f(x)}E{x|f(x)}.由已知，f(x)dxf(x)dxf(x)dx

kk

111

E{x|f(x)|E{x|f(x)E{x|f(x)

kkk

000.

111



又因为0f(x)dxdxmE{x|f(x)}0，

kkk

1

E{x|f(x)}1

kE{x|f(x)}

k

111

0f(x)dx()dxmE{x|f(x)}0

kkk

1

E{x|f(x)}1

kE{x|f(x)}

k

11

所以，mE{x|f(x)}mE{x|f(x)}0.