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数学分析第十八章隐函数定理及其应用
§18.4条件极值
一、问题引入
二、拉格朗日乘数法
三、应用举例
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数学分析§18.4条件极值
一、问题引入
问题：若要设计一个容积为V的长方形无盖水箱,
试问长、宽、高各等于多少时,可使得表面积达到
最小?
解：若设长、宽、高各等于x,y,z,则
S2z(xy)xy;
目标函数:
约束条件:xyzV.
这种带有约束条件的极值问题称为条件极值问题。
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数学分析§18.4条件极值
条件极值问题的一般形式是在条件组：
(x,x,,x)0,k1,2,,m(mn)
k12n
的限制下，求目标函数yf(x,x,,x)的极值.
12n
条件极值的一种求解方法是代入法.
V
例如，在上述例子中，由条件xyzV解出z
xy
代入目标函数中，S2(xzyz)xy得到
11
S2V()xy
yx
然后求这个函数的无条件极值.
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数学分析§18.4条件极值
然而在一般情形下，这种方法往往是行不通的，因
为要从条件组
(x,x,,x)0,k1,2,,m(mn)
k12n
解出m个变元常常是不可能的.
下面介绍求条件极值的一种有效方法：拉格朗日乘数法。
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数学分析§18.4条件极值
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