(1.11)--19.3欧拉积分数学分析.pdf

数学分析

§19.3欧拉积分

一、函数

二、函数

三、函数与函数之间的关系

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数学分析§19.3欧拉积分

欧拉积分的概念

含参量积分：



(s)xs1exdx，,s0（1）

0

称为伽马(Gamma)函数（写作Γ函数）.

1

(p,q)0xp1(1x)q1dx，,p0,q0（2）

称为贝塔(Beta)函数（写作B函数）.

它们在应用中经常出现，统称为欧拉积分，

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数学分析§19.3欧拉积分

函数可以写成如下两个积分之和：

1

(s)0xs1exdx1xs1exdx(s)(s),

其中(s)当s1时是正常积分,当0s1时是收敛

的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得);

(s)当s0时是收敛的无穷限反常积分(也可用柯西

判别法推得).所以含参量积分(1)在s0时收敛,

函数的定义域为

即s0.

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数学分析§19.3欧拉积分

Γ函数的性质：

1.(s)在定义域s0内连续且可导.(x)

2.递推公式(s1)s(s)4

3

3.Γ函数的图像2

1

4.延拓(s)

43211234x

1

2