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不定积分凑微分法的变式教学探讨

在高等数学的课程中，一元函数不定积分的计算是微积分计算中的重要内

容之一，是学习定积分、微分方程、多元函数积分学的基础.不定积分的求解方

法主要有：直接积分法、第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法、分部积

分法四种.其中，凑微分法应用极其广泛，在换元积分法和分部积分法中，凑微

分均是核心，是学生学习的重点和难点[1]，下面我们将对凑微分的教学方法进

行进一步的探索.

凑微分法的基本原理为：设f（u）具有原函数F（u），即F′（u）=f

（u），∫f（u）du=F（u）+C.如果u是中间变量，u=φ（x）且设φ（x）可

微，那么根据复合函数微分法，有dF[φ（x）]=f[φ（x）]φ′（x）dx.从而根据不

定积分的定义得：∫f[φ（x）]·φ′（x）dx=F[φ（x）]+C=∫f（u）du（u=φ（x））.

在实际教学中，学生往往对用凑微分原理解题理解困难.因此为了让学生能

准确且更快地掌握凑微分，我们对第一类换元法中第一步把被积函数分解成因

子乘积的形式进行强调再随之解题.由于同学们对基本初等函数的不定积分公式

掌握得相对牢固，因此我们只要先把复合函数变形成积分表中的基本初等函数

再来解不定积分的话就会容易很多.现在我们通过以下几个例题对这种方法进行

详细的阐述.

由于凑微分方式灵活多样，单单依靠几个常见的凑微分习题并不能给学生

足够的启示，因此在讲解过程中我们将方法归结为三种，更便于学生掌握.

一、被积函数可化成若干个因子的乘积，研究其中的复合函数，进行凑微

分

例1求不定积分∫2xex2dx.

分析被积函数直接是几个因子乘积的形式，且其中有一个是常数.常数因子

可以不用考虑，因为常数可以直接提到不定积分的前面.剩下一个基本初等函数

x，一个复合函数ex2.我们只研究复合函数，引入中间变量把复合函数变成基

本初等函数，即令x2=u，则ex2=eu，那么原题当中的积分变量就由x变成了

1

u，为了保证变量的统一，剩下的2xdx需要凑成du.而我们发现du恰好等于

2xdx，故解题过程如下.

解∫2xex2dx=∫ex2dx2=∫eudu=eu+C=ex2+C.

例2求不定积分∫cosxsin2xdx.

分析被积函数是乘积的形式，且其中一个是基本初等函数cosx，另一个是

复合函数sin2x.我们只研究复合函数，引入中间变量把复合函数变成基本初等

函数.即令sinx=u，则sin2x=u2，那么原题当中的积分变量就由x变为u了，

为了保证变量的统一，剩下的cosxdx要凑成du.而我们发现du恰好等于

cosxdx.

解∫cosxsin2xdx=∫sin2xdsinx=13sin3x+C.

例3求不定积分∫sinxxdx.

分析被积函数是相除的形式，根据上述分析，首先需要将被积函数写成几

个因子乘积的形式.被积函数可写为sinx乘1x，其中只有sinx为复合函数，故

令x=u，则sinx=sinu，剩下的1xdx需要凑成du.

解∫sinxxdx=2∫sinxdx=-2cosx+C.

对于凑微分解题，刚开始的时候老师可以和同学们强调上述解法，也就是

把被积函数写成几个因子乘積的形式，接下来研究是复合函数的那个因子，剩

下的因子和dx凑成du.等学生熟练了之后再引入公式，他们接受起来就会容易

很多，从而避免了对凑微分公式的死记硬背.

对于简单的被积函数可以这么做，但是对于复杂的被积函数，也就是被积

函数当中不止一个复合函数的，应该怎么做呢？先来看如下两个例题.

例4求不定积分∫（arctanx）3x（1+x）dx.

分析被积函数是相除的形式，根据上述分析，首先需要将被积函数写成几

个因子乘积