(1.14)--21.1二重积分的概念.pdf

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数学分析

第二十一章重积分

§21.1二重积分概念

§21.2直角坐标系下二重积分的计算

§21.3格林公式、曲线积分与路径的无关性

§21.4二重积分的变量变换

§21.5三重积分

§21.6重积分的应用

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数学分析

§21.1二重积分的概念

一、平面图形的面积

二、二重积分的定义及其存在性

三、二重积分的性质

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数学分析§21.1二重积分的概念

一、平面图形的面积

我们首先定义平面图形的面积.所谓一个平面图形

P是有界的,是指构成这个平面图形的点集是平面

上的有界点集,即存在一矩形R,使得

PR.

设P是一平面有界图形,用平行于二坐标轴的某一

组直线网T分割这个图形(图21-1),这时直线网T

的网眼(小闭矩形)i可分为三类:

(i)i上的点都是P的内点;

(ii)P;

i上的点都是P的外点,即i

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数学分析§21.1二重积分的概念

(iii)i上含有P的边界点.

将所有属于第(i)类小矩形y

(图21-1中紫色部分)的面P

积加起来,记这个和数为

s(T)(这

sP(T),则有PROx

里R表示包含P的那个矩图211

形R的面积);将所有第(i)类与第(ii)类小矩形的

面积加起来(图21-1中着色部分),记这个和数为

S(T),则有

PsP(T)SP(T).

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数学分析§21.1二重积分的概念

由确界存在定理可以推得,对于平面上所有直线网,

数集{s(T)}{S(T)}

有上确界,有下确界.记

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