2024届河南省新乡市高三第三次模拟考试数学试卷.docx

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2024届河南省新乡市高三第三次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列集合中有无数个元素的是（????）

A． B． C． D．

2．已知为纯虚数，则（????）

A．3 B． C． D．

3．已知向量，若与的夹角为，则（????）

A．10 B． C．5 D．

4．已知直线，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知球的半径为5，点到球心的距离为3，则过点的平面被球所截的截面面积的最小值是（????）

A． B． C． D．

6．如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（????）

??

A． B．

C． D．

7．倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于两点．若，则的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

8．设，其中是自然对数的底数，则（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知由5个数据组成的一组数据的平均数为7，方差为2，现再加入一个数据1，组成一组新数据，则（????）

A．这组新数据的平均数为3 B．这组新数据的平均数为6

C．这组新数据的方差为 D．这组新数据的方差为

10．已知为空间中三条不同的直线，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（????）

A．若，则

B．若，则与为异面直线

C．若，且，则

D．若，则

11．已知定义在上的函数满足，且，若，则（????）

A． B．的图象关于直线对称

C．是周期函数 D．

三、填空题

12．双曲线的实轴长为4，则.

13．已知函数，若存在，使得，则的最小值为.

14．如图，在扇形中，半径，，在半径上，在半径上，是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形的周长的取值范围是．

四、解答题

15．已知函数．

(1)求的极值；

(2)若过点可以作两条直线与曲线相切，证明：．

16．如图，在四面体中，分别为的中点．

(1)证明：平面平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值．

17．甲、乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有3个红球、3个黄球，乙袋中有1个红球、5个黄球．

(1)若从两袋中各随机地取出1个球，求这2个球颜色相同的概率；

(2)若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出2个球，记从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列与期望．

18．已知椭圆的左、右顶点分别是，椭圆的焦距是2，（异于）是椭圆上的动点，直线与的斜率之积为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)分别是椭圆的左、右焦点，是内切圆的圆心，试问平面上是否存在定点，使得为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.

19．函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如：．对于任意的实数，定义数列满足．

(1)求的值；

(2)设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列．

①求的通项公式；

②证明：对任意的，都有．

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参考答案：

1．D

【分析】求出各个选项的元素个数即可得出答案.

【详解】对于A，因为，，则，，故A错误；

对于B，因为，，则，

所以，故B错误；

对于C，，，所以，故C错误；

对于D，有无数个元素.故D正确.

故选：D.

2．B

【分析】利用复数乘法求出，再利用纯虚数的意义求解即得.

【详解】依题意，，由是纯虚数，得，

所以.

故选：B

3．A

【分析】利用向量的坐标求出，即可利用向量数量积公式求出结果.

【详解】，

则，

故选：A.

4．C

【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得.

【详解】当时，直线，则，

当时，，解得，

所以“”是“”的充要条件.

故选：C

5．C

【分析】根据给定条件，利用球的截面小圆性质求出截面小圆半径即得.

【详解】由点到球心的距离为3，得球心到过点的平面距离的最大值为3，

因此过点的平面被球所截的截面小圆半径最小值为，

所以过点的平面被球所截的截面面积的最小值是.

故选：C

6．D

【分析】观察莱布尼茨三角形，得出规律即可判断得解.

【详解】观察莱布尼茨三角形，知每一个数等于下一层与它紧挨的两个数之和，

因此，即D正