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浅谈数值逼近

摘要：本文简要的谈论了数值逼近思想中的极限思想，二分逼近思想及逐次逼近思想，同时说明了它在生活中的一些运用.

关键词：数值逼近；极限；二分逼近；逐次逼近

1引言

逼近法是数学分析中贯穿全局的根本方法,它不完全等同于近似，它是一个过程.它遵循着这样一个简朴实用的原那么：以简御繁以“”去研讨“未知”.逼近无论在理论上还是在实践中都有重要的意义.但逼近的思想和方法在某些方面还没到达成熟，一些领域如倒数逼近尚需进一步的探索.在此，我对逼近理论中一些较成熟的方法及其运用做了一个初步的探索.

作为一个分析论证方法,逼近法是简朴实用原那么的具体化、数量化.他的应用是广泛而多样的.现在来介绍它在数值逼近方面的一些运用.

2数值逼近思想在极限中的运用

：当趋于时，假设逼近于一个定数，那么的极限等于.

数列以为极限,其意即为用去逐步逼近常数.

下面介绍一个典型的由两侧逼近求数列极限的例子.

例1：〔两边加逼定理〕设，且在某有

(1.1)

那么

证明：按假设，分别正数和，当时有

(1.2)

当时有

(1.3)

令那么当时，不等式〔1.1〕，〔1.2〕，〔1.3〕同时成立，故有

由此得所以

例2：求

解：当时，

所以

由夹逼原理可得

3二分逼近法

二分逼近法在对定理或问题分析论证中的思想是：欲找一个具有某一性质的实数,那么可从一个具有相应性质的闭区间出发,逐次二等分,得到一个始终保持的闭区间列,以这些闭区间的两个端点值分别形成左右两个夹逼数列,将具有性质的实数“夹逼”出来,而实数的连续性那么确保了此数的存在,使这种逼近不至于“逼”空.

现将二分逼近法典型证明方式说明于下：

3.1确定一个闭区间使其具有某一性质〔由性质而定〕.

将等分成与，那么至少有一个区间保持性质，将保持的区间定为.

逐次二等分得到闭区间列,那么所有的闭区间都具有性质,且，

〔亦可写成〔〕

从而得到左右夹逼数列与满足.

由实数的连续性得到实数,属于所有的闭区间,数满足

具有性质.

这是由于属于所有的闭区间,被与左右夹逼,不妨形象地表示为:

.

因而,的任意小的邻域内都包含(足够大),于是具有性质,故具有性质.

是唯一的.事实上,假设不唯一,设,且满足,那么对任何,得到，而，故.即唯一.

以下我们通过实例证明一为体会二分逼近法的思想及应用.

例3：设在上连续的单调递增函数满足,,那么存在,使.

证明：令，将二等分，分点，

假设()=,那么命题结论成立.

否那么，假设(),那么取=，

假设()，那么取=.逐次二等分区间.

一般地对，假设()=,那么命题结论成立，

否那么,假设(),那么取[，]=.

假设(),那么取[,]=.

从而得到两个夹逼数列与满足：

(3.1)且.

〕,.于是可知,存在实数使

由于单增,所以即令，.

上述证明中,所求的数具有的性质:,

而构造的闭区间列{}的性质那么确定为,,从而得到夹逼数列与.将“逼出”.在不同问题的论证中性质与相应的是具体的,不同的,必须紧扣实际加以明确,这是正确应用二分逼近法的关键.

二分逼近法是微积分学中许多根本定理证明的重要工具，是逼近法的最简明的形式之一,它在生活中有着非常广泛的运用,下面来看一个简单的实例，以体会二分逼近法给我们的生活带来的诸多便利.

中央电视台“幸运52”栏目曾有一项活动：主持人李咏拿出一件物品，让参赛者猜这件物品的价格，假设选手猜对，那么将这件物品作为奖品奖励给这位选手.

假设选手想要在规定时间内拿到较多的奖品，应制定怎样的策略，才能实现自己的目标呢？

实际上,选手根据对某一件物品的了解程度，首先可判断出该物品的价格在某一范围内，然后再进一步猜出该物品的价格.在知道该物品的价格在某一范围内，如在元与元之〔不含、，且为整数，为便于讨论,假设物品的价格数为整数，单位为元〕，那么应该怎样猜才能比拟快地拿到奖品呢？

在整数与之间，共有个整数，假设是对这几个数一个一个地猜，设猜了次能猜中的概率为,那么，

假设要有80%以上的把握猜对的话，那么猜的次数应不少于[80%].

显然这样要拿到奖品是比拟困难的.但运用二分法逼近猜想，那么情况大不相同.

二分法逼近猜想的方法如下：

3.1首先取，假设恰好是该物品的价格ξ元，那么取=ξ即为所求.

3.2假设

当与之间的整数个数为时，那么，取

.1当＜ξ时，令=,=,那么有＜ξ＜，且与之间的整数个数为=--1==；

.2当＞ξ时，令=,=,那么有＜ξ＜且在与之间的整数个数为=--1=.

3.2