高中数学选修1-1《椭圆的几何性质》.pdf

椭圆的几何性质

一、教学目标

一)知识教学点

(

通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，

并了解椭圆的一些实际应用．

二)能力训练点

(

通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．

三)学科渗透点

(

使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关

系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．

二、教材分析

1．重点：椭圆的几何性质及初步运用．

解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．)

(

2．难点：椭圆离心率的概念的理解．

解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的

(

影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义．)

3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，

即不随坐标系的改变而改变．

解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．)

(

三、活动设计

提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结．

四、教学过程

一)复习提问

(

1．椭圆的定义是什么？

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2．椭圆的标准方程是什么？

学生口述，教师板书．

二)几何性质

(

根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是

b＞0)来研究椭圆的几何性质．说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是

与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．

1．范围

即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里

(图2-18)．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．

2．对称性

先请大家阅读课本椭圆的几何性质2．

设问：为什么“把x换成-x，或把y换成-y？，或把x、y同时换成-x、-y时，

方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢？

事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P(x，y)在曲

线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x，y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．类

似可以证明其他两个命题．

同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中

的任意两种，那么它一定具有另一种对称．如：如果曲线关于x轴和原点对称，

那么它一定关于y轴对称．

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事实上，设P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P(x，-y)必

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在曲线上．又因为曲线关于原点对称，所以P关于原点对称点P(-x，y)必在曲

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线上．因P(x，y)、P(-x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．

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最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．

3．顶点

只须令x=0，得y=±b，点B(0，-b)、B(0，b)是椭圆和y轴的两个交点；

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令y=0，得x=±a，点A(-a，0)、A(a，0)是椭圆和x轴的两个交点．强调指出：

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椭圆有四个顶点A(-a，0)、A(a