适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第五节椭圆课件.pptxVIP

第九章第五节椭圆

课标

解读

1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实

际问题中的作用.

2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程

及简单几何性质.

3.了解椭圆的简单应用

增分策略

强基础

知识梳理

1.椭圆的定义

数学表达式：P={M||MF₁I+|MF₂I=2a,2a|F₁F₂IB

平面内与两个定点F,F₂的距离的和等于常数(大于|F₁F₂I)的点的轨迹叫做

椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆

的焦距_,焦距的一半称为半焦距

微思考在椭圆的定义中，若2a=|F₁F₂I或2a|F₁F₂I,动点M的轨迹是什么?

提示当2a=|F₁F₂I时，动点M的轨迹是线段F₁F₂;当2a|F₁F₂|时，动点M的轨迹不存在.

标准方程

图形

VA

B₂

bd

C

B₁

2X

a

92

BbOB₂X

2.椭圆的标准方程和简单几何性质

焦点跟着分母大的跑

C

2

简单

几何性质

范围

对称性

对称轴为坐标轴,对称中心为原点

顶点

A₁(-a,O),A₂(a,0)

B₁(0,-b),B₂(0,b)

A₁(0,-a),A₂(0,a)

B₁(-b,0),B₂(b,0)

左由

千出

长轴A₁A₂的长为2a,短轴B₁B₂的长为2b

焦距

F₁F₂I=2c

离心率

C

e=a∈(0,1)

越接近于1,椭圆越扁平；

越接近于0,椭圆越接近于圆

微点拨1.椭圆的焦点F,F,必在它的长轴上.

2.求椭圆离心率e时，只要求出a,b,c的一个方程，再结合b²=a²-c²就可求得

e(Oe1).

微思考焦点弦(过焦点的弦)的弦长最短是多少?

提示垂直于长轴的焦点弦最短，弦长为

常用结论

1.若点P在椭圆上，点F为椭圆的一个焦点，则

(1)b≤10Pl≤a;

(2)a-c≤|PF|≤a+c.

2.焦点三角形：椭圆上的点P(xo,Yo)与两焦点构成的△PF₁F,叫做焦点三角

形.r₁=IPF₁I,r₂=|PF₂I,∠F₁PF₂=0,△PF₁F₂的面积为S,则在椭圆

=1(ab0)中，

(1)当r₁=r₂,即点P为短轴端点时，θ最大；

,当|y₀l=b,即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.

对点演练

1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”.

(1)平面内与两个定点Fj,F₂的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.(×)

(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(×)

(3)关于x,y的方程mx²+ny²=1(m0,n0,m≠n)表示的曲线是椭圆.(√)

(4)椭圆与椭I的焦距相同(√)

2.椭圆的左、右焦点分别为Fi,F₂过点F₁的直线1与E交于

A,B两点，若△ABF₂的周长为12,则E的离心率为()

ABC口

答案A

解析因为△ABF₂的周长为12,根据椭圆的定义可得4a=12,解得a=3,则

c²=a²-a-2=4,所以c=2,则椭圆E的离心率为

答案A

解析由题意，在

中,a:

3.(2023新高考I,5)设椭圆C;

若e₂=√3e₁,则a=()

·:

中

a1b=1

的离心率分别为e₁e₂

∵e=V3a∴

故选A.

C.√3

B.√2

解得

D.V6

··

A

,

增素能精准突破

考向1.利用椭圆定义求轨迹方程

典例突破

例1.已知两圆C:(x-4)²+y²=169,C:(x+4)²+y²=9.动圆M在圆C₁内部且和圆

C₁内切，和圆C₂外切，则动圆圆心M的轨迹方程是()

答案D

解析设动圆的圆心为M(x,y),半径为r:因为圆M在圆C:(x-4)²+y²=169内部，

且与圆C内切，与C₂;(x+4)²+y²=9外切，所以|MC₁l=13-r;|MC₂I=3+r,

所以|MC₁I+|MC₂I=16|C₁C₂I=8.

由椭圆的定义，知点M的轨迹是以C,C₂为焦点，长轴长为16的椭圆，所以

a=8,c=4,所以b²=8²-42=48,

所以动圆圆心M的轨迹方程为.故选D.

名师点析通过对题设条件分析、转化后，能明确动点轨迹满足椭圆的定义，

便可直接求解其轨迹方程.

对点训练1已知Fi,F2分别是椭圆的左、右焦点点

A(O,b),点B在