适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第五章三角函数第七节正弦定理和余弦定理及其应用课件.pptx

第七节正弦定理和余弦定理及其应用

第五章

内容索引

增素能精准突破

强基础增分策略

课标

解读

1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定

理，并能解决一些简单的三角形度量问题

2.会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计

算有关的实际问题.

增分策略

强基础

定理

正弦定理

余弦定理

公式

aC

sinA二sinB二sinC

=2R

a²=b²+c²-2bccosA

b²=a²+c²-2accosB

c²=a²+b²-2abcosC

知识梳理余弦定理是勾股定理在一般三角形中的推广

1.正弦定理和余弦定理

在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,R为△ABC外接圆的半径，则

定理

正弦定理

余弦定理

常见

变形

(1)a=2RsinA,b=2RsinB

c=2RsinC.

a

(2)sinA=2R

sinB=2R

C

sinC=2R;

(3)a∴b∵c=sinA:sinB:sinC

微点拨三角形解的个数的讨论

在△ABC中，已知a,b,A,用正弦定理求B时，解的情况如下：

①若,则满足条件的三角形的个数为0,即无解；

②若：,则满足条件的三角形的个数为1,即一解；

③若,则B可为锐角或钝角两种情况，这时可再根据“大边对大

角”和“A+B+C=180°”等进一步确定三角形是一解或两解.

2.三角形的面积公式

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c;则面

absinC=

微点拨三角形面积公式的其他形式

(1表示a边上的高).

(2为△ABC内切圆半径),

③,其中R为三角形外接圆半径.

(4)SAABC=2R²sinAsinBsinC,其中R为三角形外接圆半径.

海伦公式).

3.实际测量问题中的常用术语

(1)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹

角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角

叫做俯角(如图1),

铅垂线

图2

(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30、北偏西45、西偏北

60等.

(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点B的方位角

为a(如图2).

(4)坡角：坡面与水平面所成的二面角的平面角.

所谓解三角形，就是已知三角形的几个元素

(边或角)求其余元素的过程

4.解三角形实际应用题的步骤

数学模型的解

实际问题的解

实际问题

数学模型

抽象概括

解三角形

还原

推理

运算

常用结论

1.三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

2.三角形中，大边对大角，大角的正弦值也较大，即ab⇔AB⇔sinAsinB.

3.在△ABC中，A+B+C=π,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,

4.三角形中最大内角的取值范围是,最小内角的取值范围是

.

5.三角形中的射影定理：bcosC+ccosB=a,acosC+ccosA=b,

acosB+bcosA=c.

6.三角形中判断内角范围的方法：(1)若b²+c²a²,则角A为锐角；(2)若

b²+c²=a²,则角A为直角；(3)若b²+c²a²,则角A为钝角.

7.在锐角三角形ABC中，必有sinAcosB,sinBcosC,sinCcosA等.

对点演练

1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”.

(1)在△ABC中，一定有a+b+c=sinA+sinB+sinC.(×)(2)在△ABC中，若sin2A=sin2B,则必有A=B.(×)

(3)在△ABC中，若a²+b²c²,则△ABC是钝角三角形(y)

2.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3则

a=()

A.2√3B.5

C.8D.2√2

答案A

解析由题意可知12.

∵b+c=4√3,

由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=(b+c)²-2bc-2bccosA,整理得a²=12,

∴a=2√3.

3.(20