适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第六章数列高考解答题专项三数列中的综合问题课件.pptx

高考解答题专项三

数列中的综合问题

考情分析

数列是高考考查的重点内容，在近几年的高考试卷中，数列解答题的命题趋

势是稳中求变、变中求新、新中求活，以考查数列的基本知识、基本方法为主，渗透综合应用能力的考查，一般放在解答题的前三个题目位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学核心素养都有较深入的考查.

数列中的结构

不良试题

通项与求和问题

数列与不等式的综合

数列与函数、不等式的综合

先定后动

先动后定

逻辑推理

放缩法

构造函数法

考点索引

核心素养

方法要语

例1.(2023云南昭通模拟)已知各项均为正数的数列{an}的首项a₁=1,其前n

项和为S,,从①a₁=2√Sn-1;②S₂=4S,S₁+1+Sm₁=2(Sn+1)(n≥2);③an=√Sn+

中任选一个条件作为已知，并解答下列问题(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设,设数列{b,}的前n项和T求证：

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)

·

即(a,+a₁)(a,₁-a₁1-2)=0(n≥2),

∵a0,则a,₁-an₁=2(n≥2),

∴{a₁}是以1为首项，2为公差的等差数列，

∴a₁=1+2(n-1)=2n-1.

选择②:∵Sp+₁+S=2(S+1)(n≥2),

则S+1-S=S,-S+2(n≥2),

于是当n≥2时，ap+1=a₁+2,即a+1-a₁=2,

(1)解选择①:∵an=2√Sn-1,则,

由S₂=4S,得a₂+a₁=4aj,即a₂-a₁=2a₁=2,

∴an+1-a₁=2(n∈N*),

即{a,}是以a₁=1为首项，2为公差的等差数列，

∴a=1+2(n-1)=2n-1.

选择③:∵a,=S,-S(n≥2),

即{√Sn}是以1为首项，1为公差的等差数列，从而√Sn=n,即Sn=n²,

∴an=S₁-Sn-1=2n-1(n≥2),而a₁=1满足上式，∴an=2n-1.

(2)证明由(1)知，

显然数列

先定

后动

对“定”的条件进行分析，得出中间结论，根据中间结论再有针对性地选择“动”的条件，可以使解题更为简单

先动

如果从“定”的条件出发无法得到中间结论和求

后定

解，则可以从“动”的条件入手，直接选择其中一个方案进行求解

逻辑

通过逻辑推理对“定”“动”条件分别进行分析，

推理

通过综合推理判断，选择最优方案求解

方法点拨解决结构不良试题的基本策略

对点训练1在①S+₁=2S+1,②a₂=2,③S,=an+1-1这三个条件中选择两个，补

充在下面的问题中，给出解答.

已知数列{a,}的前n项和为S,,满足,,又知等差数列

{b,}为递增数列，且满足b₁=2,b,b₂,b₅成等比数列.

(1)求数列{a,}和数列{b,}的通项公式；

(2)设c=a,b,,求数列{c₁}的前n项和T

解方案一：选择条件①②.

(1)由题意，当n=1时，S₂=2S₁+1,即a₁+a₂=2a₁+1,化简得a₂=a₁+1.

又a₂=2,∴a₁=1.

当n≥2时，由S+₁=2S,+1,可得S,=2S+1,两式相减，可得ap+i=2a.

∵a₂=2a₁也满足上式，

∴数列{a,}是以1为首项，2为公比的等比数列，

∴a=1·2n-1=2n-1.设等差数列{b,}的公差为d(d0),则b₂=2+d,b₅=2+4d.

∵b₁,b₂,b₅成等比数列，∴b²=b₁bs,即(2+d)²=2(2+4d),化简整理得d²-4d=0,

解得d=0(舍去),或d=4,

∴b₁=2+4(n-1)=4n-2.

(2)由(1)知，C,=a,b₁=(4n-2)·2n-1=(2n-1)·2,

则T,=c₁+c₂+…+c=1·21+3·2²+5·23+…+(2n-1)·2,

2T=1·2²+3·2³+…+(2n-3)·2+(2n-1)·2n+1,

两式相减得-T,=1·2¹+2·22+2·23+…+2·2-(2n-1)·2n+1

∴Tn=(2n-3)·2”+1+6.

方案二：选择条件①③.

(1)由题意，当n=1时，S₂=2S₁+1,即a₁+a₂=2a₁+1,化简得a₂=a₁+1,将n=1代入

S,=an+i-1,可得a₁=a₂-1,

此时选择条件①③并不能计算出a₁或a₂的值，

无法计算出数列{a,}的通项公式，故方案二不成立.

方案三：选择条件②③.

(1)由题意，当n=1时，a₁=S₁=a₂-1=2-1=1.当n≥2时，由S=a+i-1,

可得S₁=a₁-1,两式相减得ap+1=2a,

∵