适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第六章数列第三节等比数列课件.pptx

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第六章第三节等比数列

课标

解读

1.理解等比数列的概念.

2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.

3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有

关知识解决相应的问题

增分策略

强基础

知识梳理

1.等比数列的概念

(1)等比数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的

比都等于_同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比常用字母q表示(显然q≠0),定义的表达式为

(2)等比中项:若三个数a,G,b成等比数列,则G叫做a与b的等比中项,且

有G²=ab.

这是数列是否为等比数列的一个重要前提

微点拨1.等比数列的任意一项都不能为零,公比不能为零.

2.在等比数列中,从第二项起,每一项都是它前一项与后一项的等比中项,即

3.并非任何两个实数都有等比中项,只有同号的两个非零实数才有等比中

项,且等比中项一定有两个,它们互为相反数.

微点拨在运用等比数列前n项和公式时,必须注意对q=1和q≠1分类讨论,防

止因忽略q=1这一特殊情况而导致解答错误.

2.等比数列的有关公式

(1)通项公式:a,,=_a₁9“

l-l

(2)前n项和公式

土1

3.等比数列的性质

(1)通项公式的推广:a,=a,q^-m(n,m∈N*).

(2)若数列{a,}为等比数列,且m+n=p+q,则aan=a,a(m,n,p,q∈N)特别地,若m+n=2t,则am=a²(m,n,t∈N*).

(3)若数列{a}是等比数列,公比为q,则a₄,Qk+m,Qk+2m,…(k,m∈N*)是公比为q

的等比数列.

(4)如果等比数列{a,}的前n项和为S,,那么(S₂-S,)²=S,(S₃n-S₂n),如果公比

q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,S,,S₂-S,S3n-S₂成等比数列.

(5)当等比数列{a,}的项数为偶数时,偶数项和与奇数项和之比等于公比q,

常用结论

1.若数列{an},{bn}为等比数列,则{λan}(λ≠0),,{a?},{a₁bn},仍为等比

数列.

2.若{an}为各项均为正数的等比数列,则{logaan}(a0,a≠1)必为等差数列;若

{an}为等差数列,则{a⁴n}(a0,a≠1)必为等比数列.

3.若数列{a,}为公比不为1的等比数列,其前n项和

S,=A-q”+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),则必有A+B=0;反之,若某一非常数数列的前

n项和S,=A·q”-A(A≠0,q≠0,q≠1),则数列{a,}必为等比数列.

数列;当

时,数列{an}为递减数列;当q=1

常数列;当q0时,数列{an}为摆动数列.

4.若等比数列{an}的公比为q,则当

F人

列(a.)为递增

a怕

时,数列{an}为

时数J,数

对点演练

1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“X”.

(1)任何两个实数都有等比中项,且其等比中项有两个.(×)

(2)若数列{a}的通项公式是a=cq”(c,q∈R,c≠0,q≠0),则数列{a,}一定是等

比数列.(√)

(3)在等比数列{a,}中,若aQ₁=a,g,则m+n=p+q.(×)

(4)如果等比数列{a,}的前n项和为S,,那么S,,S₂n-S,S3n-S₂也成等比数

列.(×)

2.设S,为等比数列{a,}的前n项和,若a₄=4,S₃=S₂+2,则a₁=()

AB.1C.√2D.2

答案A

解析由已知a₃=S-S₂=2,公比,所以

3.(2023全国甲,理5)设等比数列{a,}的各项均为正数,前n项和为S,若

a₁=1,S₅=5S₃-4,则S₄=()

ABC.15D.30

答案C

解析设等比数列{a,}的公比为q,易知q0,且q≠1.

由题意,

又a=1,所以.解得q=2或q=-2(舍去),所以.故选

C.

增素能精准突破

典例突破

例1.(1)(2023新高考II,8)记S,为等比数列{a,}的前n项和,若S₄=-5,S₆=21S₂,

则Sg=()

A.120B.85C.-85D.-120

(

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