适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第三节二项式定理课件.pptx

第十一章第三节二项式定理

内容索引

增素能精准突破

强基础增分策略

课标

解读

1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.

2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

增分策略

强基础

知识梳理

1.二项式定理

字母a,b是一种“符号”,实际上可以是数和式

(1)二项式定理：(a+by=C?a⁴+Cha¹b¹+…+C5a**b*+…+Cπb,n∈N*.

(2)通项：,它表示展开式的第k+1项.

(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Cπ(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数.

只与各项的项数有关，而与a,b的值无关

微点拨二项式系数Cπ(k=0,1,2,…,n)是组合数，它与二项展开式中对应项的

系数不一定相等，应注意区分二项式系数与项的系数这两个不同的概念

项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且

也与a,b的值有关.如(a+bx)的展开式中，第k+1项的二项式系数是Cπ,而该项的系数是Chakb.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.

微思考(a+b)”与(b+a)的展开式有何区别与联系?

提示(a+b)的展开式与(b+a)的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，

两个展开式的通项不同.

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cm=Cn-m

当k时，C随k的增加而增大

当k生时，C随k的增加而减小

当n是偶数时，中间的一项C取得

最大值

当n是奇数时，中间的两项c学与c

相等，且同时取得最大值

C9+C+C2+…+Cm=2

2.二项式系数的性质

对称性

增减性

各二项式系数的和

最大值

微点拨利用赋值法求二项式系数的和.

已知(1+x)=C9+C₁x+C2x²+…+Cnx,令x=1,得2°=CΩ+C₁+C2+…+Cn.

微思考二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗?

提示不一定最大.当二项式中a,b的系数为1时，二项式系数等于项的系数，

则二项式系数最大时，该项的系数就最大，否则不一定.

常用结论

对点演练

1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”。

(1)(a+b)的展开式中的第k项是Ca-b.(×)

(2)在二项展开式中，系数最大的项为中间的一项或中间的两项.(×)

(3)通项T=Chab中的a和b不能互换.(√)

(4)在(a+b)的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数相同.(×)

2.在(1+2x)⁵的展开式中，x²的系数等于()

A.80B.40C.20D.10

答案B

解析Tk+1=C(2x)^=Cξ2x,当k=2时，x²的系数为C?×2²=40.

3.若的展开式中第3项的二项式系数是15,则展开式中所有项的系

数之和为

答案

解析的展开式中第3项的二项式系数为C2,由C2=15,解得n=6,在

中，令x=1,得到展开式中所有项的系数之和为

增素能精准突破

考点一二项展开式的通项及其应用(多考向探究)

考向1.二项展开式中的特定项(或系数)

典例突破

列1.(1)(2023天津，11)在的展开式中含x²的项的系数

头1

/

(2)设i为虚数单位，则(x+i)6的展开式中含xA的项为

的展开式中的常数项为15,则实数a=

(3)二项式

答案(1)60(2)-15x4(3)3

解析的展开式的通项为.由

18-4r=2,得r=4,所以展开式中含x²的项的系数为(-1)⁴×2²×C;=60.(2)(x+i)⁶的展开式的通项为Tr+1=C6x⁶-i,r=0,1,2,…,6,

令6-r=4,则r=2,

此时,即含x⁴的项为-15x⁴.

解得r=4.

即当r=4时，常数项为,解得a=3.

第一步

第二步一

第三步一

对点训练1(1)的展开式中常数项为()

A.-15B.-20C.15D.20

(2)(2023山东泰安一模)若的展开式中含x6的项的系数是-16,则实

数a的值是()

A.-2B.-1

C.1