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《泛函分析》教学大纲（本科）

说明

1本课程的教学目的与要求

本大纲适用专业为数学与应用数学专业脱产与本科。

《泛函分析》是现代教学中的一门较新的数学分支，它综合地运用分析的，代

数和几何的观点、方法研究分析数学中的许多问题，由它把具体的分析问题，由于

它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行研究，因此

逐步形成了综合运用代数、几何处理问题的新方法，正因为这种纯粹形式的代数，

拓扑结构是根植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以由此发展起来的基

本概念，定理和方法也就显的更为广泛，更为深刻，现在泛函分析已成为一门内容

丰富，方法系统，体系完备，应用广泛的独立分支，通过该课程的学习，学生不仅

能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理

经济，现代控制论，量子场论，统计物理。工程技术等领域有很大帮助。

2本课程的主要内容：

本课程主要介绍线性泛函分析，重点介绍Banach空间最基本的几个定理，如泛

函延拓，逆算子定理共鸣定理及某些具体空间泛函表示定理等，Hilbert空间几何学

以及距离空间的必要知识，压缩映象原理等。

3教学重点与难点

本重点是几个最基本的定理，如泛函延拓定理，逆算子定理，共鸣定理，他们

也是本章的重点。

4本课程的知识范围及与相关课程的关系

本课程主要可以在学完数学分析、线性代数空间、解析几何及实变函数，复变

函数后学习。

5教材的选用

本课程选用程其襄的《实变函数与泛变分析基础》。

6．教学学时分配

本课程为一学期课程，每周４学时，总学时为７２学时，其中授课６２学时，

习题课８学时，机动２学时,函授按脱产学时的百分之四十进行面授。

教学时数分配表

教学时数

教学内容二年制脱产三年制函授

讲授其他环节面授自学

第六章距离空间25

第七章赋范线性空间与内积空间16

第八章赋范线性空间上的有界线性算子25

第九章内积空间上的有界线性算子6

教学内容

第六章距离空间（２５学时）

一、教学内容

距离空间的概念，距离空间中开集闭集，稠密性与可分性，连续映照的概念，

距离空间中完备性，及其上连续映照，具体空间收敛性、完备性判定法及不动点定

理。

二、教学目的及要求

要求学生掌握距离空间的一些基本概念，为后面学习打下基础。

三、教学重点

距离空间的完备性，具体空间的收敛性、完备性判别法，不动点定理。

四、教学难点

具体距离空间上收敛性、完备性判判别法及不动点定理。

五、各章节教学时间分配及进度安排

（1）距离空间基本概念

距离空间中定义及例，距离空间中收敛的概念（６学时）

（2）距离空间中的点集及其上的映射

几类特征的点集（内点，聚点，开集闭集，闭包等）稠密性，可分性连续映

照（４学时）

（3）完备化，距离空间的完备化

完备的距离空间，距离空间的完备化（４学时）

（4）某些具体空间中集合各列收敛性、完备性判别法的判别条

件（４学时）

（5）不动点定理

压缩映照原理及应用（４学时）

六、主要教学环节组织

在本章最后学时进行有关问题及习题讨论

第七章赋范线性空