2024届高考数学学业水平测试复习专题五第19讲平面向量的概念和运算课件.pptx

专题五平面向量及其应用

名称

定义

备注

向量

既有大小又有方向的量；向量的

大小叫做向量的长度(或称模)

平面向量是自由

向量

零向量

长度为0的向量；其方向是任意

的

记作0

单位向量

长度等于1个单位的向量

非零向量a的单

d

位向量为±j

第19讲平面向量的概念和运算

必备知识BIBEIZHISHI

1.向量的有关概念

平行向量

方向相同或相反的非零

向量

0与任一向量平行或共

线

共线向量

方向相同或相反的非零

句量又叫做共线向量

相等向量

长度相等且方向相同的

向量

两向量只有相等或不等，

不能比较大小

相反向量

长度相等且方向相反的

向量

0的相反向量为0

续上表

向量

运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量和

的运算

三角形法则

平行四边形法则

(1)交换律：

a+b=b+a.

(2)结合律：

(a+b)+c=a+(b+c)

减法

求两个向量差

的运算叫做向量的减法

三角形法则

a—b=a+(-b)

2.向量的线性运算

数乘

规定实数λ与向

量a的积是一个向量，这种运

算叫做向量的

数乘，记作λa

(1)|λa|=||·|a|;

(2)当λ0时，λa的方向与a的方向相

同；

当λ0时，λa的方

句与a的方向相反；当λ=0时，λa=0

(1)λ(ua)=(λu)a;

(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb

续上表

3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ,使

b=λa.

4.平面向量的数量积

(1)向量的夹角.

已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB就是向量

a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0,π].

(2)投影、投影向量.

如图，设a,b是两个非零向量，AB=a,CD=b,过AB的起点A

和终点B,分别作CD所在直线的垂线，重足分别为A₁,B,得到A₁B₁,我们称上述变换为向量a向向量b投影，A₁B₁叫做向量a

在向量b上的投影向量.

5.平面向量数量积的性质

设a,b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角.则

(1)e·a=a·e=|a|cosθ.

(2)a⊥b⇔a·b=0.

(3)当a与b同向时，a·b=|a||b|;

当a与b反向时，a·b=-|al|bl.

(5)|a·b|≤|al|b|.

6.平面向量数量积满足的运算律

(1)a·b=b·a.

(2)(λa)·b=λ(a·b)=a:(λb)(λ为实数).

(3)(a+b)·c=a·c+b·c.

特别地，aa=|al²或|a|=√a·a.

考点精析KAODIANJINGXI

1.平面向量的概念

例1(1)设a₀为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a=

lala₀;②若a与a₀平行，则a=|a|a₀;③若a与a₀平行且|a|=1,则

a=a₀.上述命题中，假命题的个数是()

A.0B.1

C.2D.3

(2)下列说法正确的是()

A.若|a|=|b|,则a=b或a=-b

B.若a、b为相反向量，则a+b=0

C.零向量是没有方向的向量

D.若a、b是两个单位向量，则a=b

解析：(1)向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a₀的模相同，

但方向不一定相同，故0是假命题；若a与a₀平行，则a与a₀的

方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a=-la|a₀,

故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.故选D.

(2)|al=|b|时，a,b可能不共线，所以得不出a=b或a=-b,所

以A错误；

若a、b为相反向量，则a=-b,所以a+b=0,所以B正确；

零向量的方向不确定，为任意方向，不能说零向量没有方向，

所以C错误；

若a,b是两个单位向量，则|al=|b,而方向可能不同，所以得

不出a=b,所以D错误.

故选B.

答案：(1)D(2)B

剖析：(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递

性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题

时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.

(4)非零向量的关系：是与a同方向的单位向量.