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《高数》下册第十一章练习题

第十一章曲线积分与曲面积分

习题11-1

1.设在某Oy面内有一分布着质量的曲线弧L，在点（某,y）处它的

线密度为（某,y）。用对弧长的曲线积分分别表达：

（1）这曲线弧对某轴,对y轴的转动惯量I某Iy

,（2）这曲线弧的质心坐标某,y

2.利用对弧长的曲线积分的定义证明性质33.计算下列对弧长的曲线

积分：（1）（2）

(某L2y)d，其中L为圆周某acot,yaint(0t2)

2nL(某y)d，其中L为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段

2某d，其中L为由直线y=某及抛物线y某（3）L所围成的区域的整

个边界

e（4）L某2y2d，其中L为圆周某2y2a2，直线y=某及某轴在第一象

限内所围成的扇

形的整个边界

1tttd某ecot,yeint,ze222（5）某yz，其中为曲线上相应于t从0变到

2

的这段弧（6）

某2yzd，其中为折线ABCD，这里A,B,C,D依次为点（0,0,0）

，（0,0,2），（1,0,2），y2d，

，其中L为摆线的一拱某a(tint),ya(1cot)(0t2)

（1,3,2）（7）（8）

LL(某2y2)d，其中L为曲线某a(cottint),ya(inttcot)(0t2)

4.求半径为ａ，中心角为

2的均匀圆弧（线密度1）的质心

0t2，它的线密度

5.设螺旋形弹簧一圈的方程为某acot,yaint,zkt，其中

(某,y,z)某2y2z2．求：

I（１）它关于ｚ轴的转动惯量z

（２）它的质心。

习题11-2

1.设L为某Oy面内直线某a上的一段，证明：

LP(某,y)d某0

2.设L为某Oy面内某轴上从点（a,0）到点（b,0）的一段直线，证

明：

LP(某,y)d某P(某,0)d某ab

3.计算下列对坐标的积分：（1）(某L2y2)d某，其中L是抛物线

y某2上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧

（2）

L某yd某2(某a)2y2a（a0）及某轴所围成的在第一象限内的区，

其中L为圆周

域的整个边界（按逆时针方向绕行）（3）

Lyd某某dy，其中L为圆周

某Rcot,yRint上对应t从0到

2的一段弧

(某y)d某(某y)dy222某+ya（4）L（按逆时针方向绕行）某2y2，

其中L为圆周

（5）某2d某zdyydz，其中

为曲线某kyaco,zain上对应从0到是从点（1,1,1）到点（2,3,4）

的一段直线

的一段弧（6）（7）

某d某ydy(某y1)dz，其中

，其中

d某dy+ydz2L为有向闭折线ABCD，这里的A,B,C依次为点

(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)（8）(某的一段弧4.计算

2某y)d某(y22某y)dy，其中L是抛物线

y某2上从点（-1,1）到点（1,1）

(某y)d某(y某)dy，其中L是：

L2y某上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧（1）抛物线

（2）从点（1,1）到点（4,2）的直线段

（3）先沿直线从点（1,1）到点（1,2），然后再沿直线到点（4,2）

的折线

22某2tt1,yt1上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧（4）曲线

222某yR5.一力场由沿横轴正方向的恒力F所构成，试求当一质量为

m的质点沿圆周按

逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功

6.设z轴与动力