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《高等数学》(北大第二版)第02章习题

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《高等数学》(北大第二版)课件

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一、学习本章的主要要求是：学习本章的主要要求是：(1)

掌握导数、微分(及高阶导数)的定义，它们的联系与区别及几何

意义，会用定义求导数、微分及高阶导数.(2)熟练地掌握计算导

数与导函数、微分及高阶导数的各种方法，并善于运用相应公

式、法则和方法熟练地进行计算；(3)会用微分进行近似计算并

估计误差.二、综合例题f(x)处连续，存在，证明f(x)在x=0

处可导处可导.例1设f(x)在x=0处连续，且lim在处连续

存在，证明在处可导x→0f(x)f(0)limx→0x0

x存在，故只要证f(0)=0.分析需证证设limf(x)=A,

则limf(x)=limxf(x)=0A=0,x→0x→0x→0xx因为f(x)

在x=0处连续，所以f(0)=limf(x)=0.x→0f(x)f(0)f(x)

f′(0)=lim=lim=A存在，即f(x)在x=0处可导.故x→0x→0

x0x

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例2设f(u)的一阶导数存在，求1rrlim[f(t+)f(t)]r→0

rararf(t+)f(t)+f(t)f(t)aa解原式=limr→0rrr[f(t

+)f(t)][f(t)f(t)]11aa令r=h=lim+limrrrra→0a→0

aaaaa1f(t+h)f(t)1f(t)f(th)=lim+limh→0ahah→0

h1f(t+h)f(t)1f(th)f(t)=lim+limh→0ahah→0h

h=x

112=f′(t)+f′(t)=f′(t)aaa

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例3已知y=xln(x+1+x2)1+x2解′(′y′=xln(x+1

+x2))1+x2)(

求y′.

x1+x2=ln(1+1+x)+x.x+1+x21+x22

1+

x

=ln(1+1+x)+2

x1+x2

x1+x2

=ln(1+1+x2)

例4求y=解

xxx的导数.

y=x

111++248

=x,所以2

78

787′=x=y.888x

1

练习:y=ln

11+x

,求y′.

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例5

设y=

a

1x3

xlogb1

4

arctanx2(a0,b0),求y′.

111x∵lny=lna+lnlogbx+lnarctanx2,解2624

111lny=lna+(lnlnxlnlnb)+lnarctanx2,2x624对上

式两边求导,得lna1x′=y[y++]2422x6xlnx12(1+x)