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考研数学一（常微分方程）-试卷2

(总分：92.00，做题时间：90分钟)

一、选择题(总题数：9，分数：18.00)

1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）

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解析：

2.微分方程y一4y+4y=x2+8e2x的一个特解应具有形式(a，b，c，d为常数)()

（分数：2.00）

?A.ax2+bx+ce2x

?B.ax2+bx+c+dx2e2x?√

?C.ax2+bx+cxe2x

?D.ax2+(bx2+cx)e2x

解析：解析：对应特征方程为r2一4r+4=0，特征根是r1,2=2．而f1=x2，λ1=0非特征根，故y1*=ax2+bx+c．又f2=8e2x，λ2=2是二重特征根，所以y2*=dx2e2x，y1*与y2*合起来就是特解，选B．

3.微分方程的一个特解应具有形式(其中a，b为常数)()

（分数：2.00）

?A.

?B.

?C.?√

?D.

解析：解析：特征方程r2+r+1=0，特征根为是特征根，所以特解的形式为

4.设y=f(x)是微分方程y一2y+4y=0的一个解，若f(x0)＞0，且f(x0)=0，则函数f(x)在点x0()

（分数：2.00）

?A.取得极大值?√

?B.取得极小值

?C.某个邻域内单调增加

?D.某个邻域内单调减少

解析：解析：由f(x0)=0知x0为驻点，且f(x0)+4f(x0)=0，又因f(x0)＞0，故f(x0)=一4f(x0)＜0，所以在x0处函数取极大值．

5.方程(3+2y)xdx+(x2一2)dy=0的类型是()

（分数：2.00）

?A.只属于可分离变量型

?B.属于齐次型方程

?C.只属于全微分方程

?D.兼属可分离变量型、一阶线性方程和全微分方程?√

解析：解析：原方程关于x和y不齐次．但极易分离变量，也可化为y的一阶线性方程．又满足全微分方程条件Py=2x=Qx．故选项A，B，C均不正确，而D正确．

6.微分方程y+2y+y=shx的一个特解应具有形式(其中a，b为常数)()

（分数：2.00）

?A.ashx

?B.achx

?C.ax2e-x+bex?√

?D.axe-x+bex

解析：解析：特征方程为r2+2r+1=0，r=一1为二重特征根，而，故特解为y*=ax2e-x+bex．

7.设f(x)连续，且满足则f(x)=()

（分数：2.00）

?A.exln2

?B.e2xIn2?√

?C.ex+ln2

?D.e2x+ln2

解析：解析：原方程求导得f(x)=2f(x)，即，积分得f(x)=Ce2x，又f(0)=ln2，故C=ln2，从而f(x)=e2xln2．

8.设f(x)，f(x)为已知的连续函数，则方程y+f(x)y=f(x)f(x)的通解是()

（分数：2.00）

?A.y=f(x)+Ce-f(x)

?B.y=f(x)+1+Ce-f(x)

?C.y=f(x)一C+Ce-f(x)

?D.y=f(x)一1+Ce-f(x)?√

解析：解析：由一阶线性方程的通解公式得

9.方程y(4)一2y一3y=e-3x一2e-x+x的特解形式(其中a，b，c，d为常数)是()

（分数：2.00）

?A.y一2y+y=e2x

?B.y一y一2y=xex

?C.y一y一2y=ex一2xex?√

?D.y一y=e2x

解析：解析：特征方程r2(r2—2r一3)=0，特征根为r1=3，r2=一1，r3=r4=0，对f1=e-3x，λ1=一3非特征根，λ1*=-3；对f2=一2e-x，λ2=一1是特征根，y2*=bxe-x；对f3=x，λ3=0是二重特征根，y3*=x2(cx+d)，所以特解y*=y1*+y2*+y3*=ae-3x+k+bxe-x+cx3+dx2．

二、填空题(总题数：12，分数：24.00)

10.微分方程的通解1包含了所有的解．

（分数：2.00）

填空项1:__________________?（正确答案：正确答案：不一定）

解析：解析：例如方程(y2一1)dx=(x-1)ydy，经分离变量有积