考研数学一(高等数学)模拟试卷144(题后含答案及解析).doc

考研数学一（高等数学）模拟试卷144(题后含答案及解析)

全部题型2.填空题3.解答题

填空题

1．已知方程的两个特解y1＝ex，y2＝x，则该方程满足初值y(0)＝1，y’(0)＝2的解y＝______．

正确答案：ex＋x

解析：因y1，y2线性无关，该方程的通解y＝C1ex＋C2x．由初始条件得C1＝1，C1＋C2＝2C1＝1，C2＝1y＝ex＋x知识模块：高等数学

2．微分方程y’’＋6y’＋9y＝0的通解y＝______．

正确答案：(C1＋C2x)e—3x

解析：特征方程λ2＋6λ＋9＝0，即(λ＋3)2＝0．通解为y＝(C1＋C2x)e—3x，其中C1，C2为任意常数．知识模块：高等数学

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3．求下列微分方程的通解：(I)(x一2)dy＝[y＋2(x一2)3]dx；(Ⅱ)y2dx＝(x＋y2)dy；(Ⅲ)(3y一7x)dx＋(7y一3x)dy＝0；(Ⅳ)一3xy＝xy2．

正确答案：(I)原方程改写成＝2(x—2)2．(一阶线性方程)，两边乘μ＝＝2(x一2)．积分得y＝(x一2)2＋C通解y＝(x一2)3＋C(x一2)，其中C为任意常数.(II)原方程改写成．(以y为自变量，是一阶线性的)两边乘通解，其中C为任意常数．(Ⅲ)原方程改写成通解为(x一y)2(x＋y)5＝C，其中C为任意常数．(Ⅳ)这是伯努利方程．将原方程改写成故通解为，其中C为任意常数．涉及知识点：高等数学

4．求下列微分方程的通解或特解：(I)一4y＝4x2，y(0)＝，y’(0)＝2；(Ⅱ)＋2y＝e—xcosx．

正确答案：(I)相应齐次方程的特征方程λ2一4＝0，特征根λ＝±2．零不是特征根，方程有特解y*＝ax2＋bx＋c，代入方程得2a一4(ax2＋bx＋c)＝4x2．—4a＝4，b＝0，2a—4c＝0a＝—1，c＝由初值y(0)＝C1＋C2，y’(0)＝2C1—2C2＝2因此得特解为(II)相应齐次方程的特征方程λ2＋3λ＋2＝0，特征根λ1＝一1，λ2＝一2．由于非齐次项是e—xcosx；，一1±i不是特征根，所以设非齐次方程有特解y*＝e—x(acosx＋bsinx)．代入原方程比较等式两端e—xcosx与e—xsinx的系数，可确定出，所以非齐次方程的通解为y＝C2e—x＋C2e—2x＋e—x(sinx一cosx)，其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：高等数学

5．求方程y’’＋2my’＋n2y＝0的通解；又设y＝y(x)是满足y(0)＝a，y’(0)＝b的特解，求y(x)dx，其中m＞n＞0，a，b为常数．

正确答案：特征方程λ2＋2mλ＋n2＝0，特征根λ＝一m±，通解为注意：指数均为负的将方程两边积分涉及知识点：高等数学

6．设y＝y(x)在[0，＋∞)内可导，且在x＞0处的增量△y＝y(x＋△x)一y(x)满足△y(1＋△y)＝，其中当△x→0时α是△x的等价无穷小，又y(0)＝2，求y(x)．

正确答案：由题设等式可得(1＋△y)，令△x→0即得从而y＝y(x)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解：方程两边乘，两边积分得＝C＋ln(4＋x)y＝C(4＋x)＋(4＋x)ln(4＋x)令x＝0，y—2可确定常数y＝(—2ln2)(4＋x)＋(4＋x)ln(4＋x)＝(4＋x)[—2ln2＋ln(4＋x)]涉及知识点：高等数学

7．设函数f(x)连续，且f(t)dt＝sin2x＋tf(x一t)dt．求f(x)．

正确答案：代入原方程即得①由f(x)连续可见以上方程中各项均可导．将方程①两端对x求导即得f(x)=2sinxcosx＋∫0xf(u)du＝sin2x+∫0xf(u)du②(在①中令x＝0，得0＝0，不必另加条件①与②同解．)在②式中令x＝0可得f(0)＝0，由②式还可知f(x)可导，于是将它两端对x求导，又得f’(x)＝2cos2x＋f(x)．故求y＝f(x)等价于求解初值问题的特解．解之可得涉及知识点：高等数学

8．设有微分方程y’一2y＝φ(x)，其中φ(x)＝试求：在(一∞，＋∞)内的连续函数y＝y(x)，使之在(一∞，1)和(1，＋∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)＝0．

正确答案：这是一个一阶线性非齐次微分方程，由于其自由项为分段函数，所以应分段求解，并且为保持其连续性，还应将其粘合在一起．当x＜1时，方程y’一2y＝2的两边同乘e—2x得(ye—2x)’＝2e—2x，积分得通解y＝C1e2x一1；而当x＞1时，方程y’一2y＝0的通解为y＝C2e2x．为保持其在x＝1处的连续性，应使C1e2—1＝C2