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®
APCALCULUSBC
2008SCORINGGUIDELINES(FormB)
Question4
Letfbethefunctiongivenbyf(x)=kx2−x3,wherekisapositiveconstant.LetRbetheregionin
thefirstquadrantboundedbythegraphoffandthex-axis.
(a)FindallvaluesoftheconstantkforwhichtheareaofRequals2.
(b)Fork0,write,butdonotevaluate,anintegralexpressionintermsofkforthevolumeofthesolid
generatedwhenRisrotatedaboutthex-axis.
(c)Fork0,write,butdonotevaluate,anexpressionintermsofk,involvingoneormoreintegrals,
thatgivestheperimeterofR.
(a)Forx≥0,fx=x2k−x≥0if0≤x≤k1:integral
()()⎧
∫k(kx2−x3)dx=(kx3−1x4)x=k=k44:⎨⎪⎪1:antiderivative
034x=012⎪1:valueofintegral
⎪
1:answer
⎩
4
k4
Area==2;k=24
12
k2321:integrand
(b)Volume=π∫0(kx−x)dx2:{1:limitsandconstant
k
⎧′2
1:∫1+(f(x))
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