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中考数学几何最值模型汇编

1、胡不归问题

【故事介绍】

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，

小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？

【模型建立】

如图，一动点P在直线MN外的运动速度为v1，在直线MN上运动的速度为v2，且v1＜v2，A、B为定点，点

【问题分析】

AC

【问题解决】

构造射线AD使得sin∠DAN=k,即CH

sin

CK

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+

【模型总结】

在求解形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与k·PB相等的线段，将“PA+k·PB”型问题转化为“PA+PB”型．而这里的PB

【例1】

【变式1-1】

【变式1-2】

2、阿氏圆问题

阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.

【模型建立】

如图1所示，☉Ο的半径为R，点A、B都在☉Ο外，p为☉Ο上一动点，已知R=

连接PA，PB，则当“

解决办法：如图2，在线段OB上截取OC使OC=25

故本题求“PA+25PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时,”

【技巧总结】

计算PA+k·PB

问题：在圆上找一点P,使PA+k

如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连，即OP，OB

计算出这两条线段的长度比OPOB

在OB上取一点C,使得OCOP=k

则PA+k·PB=PA+PC≥AC,则A、P、C三点共线时可得最小值

【例2】

【变式2-1】

【变式2-3】

3、费马定理

皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．

据说费马在提出“费马大定理”时，在笔记本上写道：我已经想到了一个绝妙的证明方法，但是这个地方不够写，我就不写了吧。看得出那个时候纸确实挺贵的，然后，直到1995年，才由英国数学家怀尔斯证明出，而距离费马逝世，已经过去了330年．果然，数学搞得好的都是装x的一把好手．言归正传，今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点。

费马点的确切定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。

它是这样确定的：1.?如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；

2.?如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

费马点的性质：费马点有如下主要性质：

1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

费马点最小值快速求解：

费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换.

秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值

【例3】如图，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）

【变式3-2】

【变式3-3】

【变式3-3】（2019·湖北）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．

问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG=42．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是

【解答】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，

在△ABG和△ADP中

AB=AD∠B=∠D

∴△ABG≌△ADP（SAS），

∴AG＝AP，∠BAG＝∠DAP，

∵∠GAP＝∠BAD＝60°，

∴△AGP是等边三角形，

∴∠AGC＝60°＝∠APG，

∴∠APE＝60°，

∴∠EPC＝60°，

连接EC，延长BC到F，使CF＝PA，连接EF，

∵将△ABC绕点A逆时针旋转