1.定积分的概念.pptx

经济数学在线开放课程定积分的概念授课教师：陈笑缘教授

1引题2定理3例题

1引题

引题【问题】我们以前学过图形的面积计算，请大家回想一下，有哪些计算公式？正方形、矩形、梯形、三角形、圆、椭圆等。规则图形

不规则图形（如图）的面积如何求？xyOab

像这类几何图形称为什么呢？上述图形的面积可归结为下面两个图形的面积之差，xyOabxyOab即

曲边梯形曲边梯形是由三条直线与一条连续曲线所围成的平面图形。

【案例1】曲边梯形面积如何计算?能否须借助于现有的规则图形面积计算公式进行计算？能否采用将曲边梯形划分为若干小的曲边梯形，每个小曲边梯形面积都用小矩形面积去近似呢？

显然，小矩形越多，小矩形面积之和越接近曲边梯形面积。xyoab四个小矩形xyoab九个小矩形

把区间[a,b]分成n个小区间（1）分割用分点

把区间[a,b]分成n个小区间（1）分割用分点即第i个小区间的长度记为：

（2）局部近似在第i个小区间上任取一点用以为宽，为高的小矩形的面积近似代替相应小曲边梯形的面积，即

（3）总体近似将每个小矩形的面积相加，所得的和就是整个曲边梯形面积的近似值

（4）取极限求精确值上述计算表明，曲边梯形面积用一个和式的极限计算。则令,

【案例2】已知边际产量函数，求总产量的改变量生产某产品总产量在时刻的变化率为。求从到这段时间内总产量的改变量。引题

【分析】如果总产量在时刻的变化率是常数，那么总产量的改变量就是。但一般情况下是变化的，用计算显然不合适。同样采用局部近似、整体近似、用极限方法逐步逼近等思想进行计算。

用分点：把区间[a,b]分成n个小区间（1）分割第i个小区间的长度记为，即

在第个小区间上任取一点，在很短的时间间隔内，产量的变化是微小的，可以将内平均产量近似代替小时间段内产量的改变量，（2）局部近似即

把个小区间内产量的改变量相加，得到整段时间上产量改变量的近似值，(3)总体近似即

当这些小区间长度的最大值趋向于零时，和式的极限就是在整段时间上产品总产量的改变量，上式表明，已知总产量的变化率求时间上产品总产量的改变量也是一个和式的极限。（4）取极限求精确值即

2.总产量的改变量1.曲边梯形的面积和式的极限

2定义

定积分定义5.1设函数在区间上有定义，在中插入个分点:每个小区间的长度依次为把区间分成个小区间

定积分在每个小区间上任取一点，作和式（称为积分和式）。记，则此极限值称为函数在上的定积分（简称积分），，即如果存在，记作

积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间],[ba积分号

说明定积分只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即有规定定积分的值与区间的分法以及点的取法无关；

3例题

例题解：将[0,1]进行n等分，取则用定积分的定义计算。分点为

微训练用定积分的定义计算。

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