精品解析：黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2024学年高三上学期期中数学试题（解析版）.docx

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哈九中2024届高三上学期期中考试数学试卷

（考试时间：120分钟满分：150分）

Ⅰ卷

一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】解不等式可得集合，根据集合的并集运算即得答案.

【详解】因为，，

所以，

故选：D.

2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求出复数，得到的共轭复数，即可得到答案.

【详解】因为复数满足，

所以，所以的共轭复数.

其虚部为：2.

故选：D

3.在等差数列中，若，则（）

A.20 B.24 C.27 D.29

【答案】D

【解析】

【分析】求出基本量，即可求解.

【详解】解：，所以，又，所以，

所以，

故选：D

4.“，”是“”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数，结合充分必要条件的概念即可判断.

【详解】，时，，

，时，，

所以“，”是“”的充分而不必要条件，

故选:.

5.下列命题中，真命题的是（）

A.函数的周期是 B.

C.函数是奇函数. D.的充要条件是

【答案】C

【解析】

【分析】选项A，由可判断；

选项B，代入，可判断；

选项C，结合定义域和，可判断；

选项D，由得且，可判断

【详解】由于，所以函数的周期不是，故选项A是假命题；

当时，故选项B是假命题；

函数的定义域关于原点对称，且满足，故函数是奇函数，即选项C是真命题；

由得且，所以“”的必要不充分条件是“”，故选项D是假命题

故选：C

6.设是与的等差中项，则的最小值为（）

A. B.3 C.9 D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等差中项的定义，利用对数的运算得到，然后利用这一结论，将目标化为齐次式，利用基本不等式即可求最小值.

【详解】解：是与的等差中项，

，

即，即，

则，

当且仅当，即时取等号.

故选C.

【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值中的其次化方法，涉及等差中项概念和对数运算，难度中等.

当已知（都是正实数，且为常数），求，为常数的最小值时常用方法，展开后对变量部分利用基本不等式，从而求得最小值；

已知（都是正实数，且为常数），求，为常数的最小值时也可以用同样的方法.

7.已知中，，，点为的中点，点为边上一动点，则的最小值为（）

A.27 B.0 C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据图形特点，建立直角坐标系，由题设数量关系得出A，B，C的坐标，再设出点M的坐标，将所求问题转化为函数的最小值即可.

【详解】解：以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，

由题意可知，，，，

设，其中，则，，

故，

所以当时，有最小值.

故选：D.

8.在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（）

A.35 B.42 C.49 D.56

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.

【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,

则每轮新增感染人数为，

经过n轮传染，总共感染人数：，

∵，∴当感染人数增加到1000人时，，化简得，

由，故得，又∵平均感染周期为7天，

所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天，

故选：B

【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．

二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9.数列满足：