辽宁省实验中学2024-2024学年度高考适应性测试（一）数学参考答案.docx

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辽宁省实验中学2024-2024学年度高考适应性测试（一）

数学参考答案

一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）

1

2

3

4

5

6

7

8

C

A

C

B

C

D

B

B

二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）

9

10

11

12

AD

AC

ABD

BC

三、填空题（每题5分，共20分）

13． 14．540 15． 16．

四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）

17．【详解】（1）取的中点，连接、，

根据中位线定理，，且，

又，所以，，则四边形为平行四边形，∴，

∵平面，平面，∴平面；

（2）以为原点，、、过且垂直底面的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

设，则、、、，设，

由，，，

上面联立解方程组得，，，

故点，所以，得到，

平面的法向量为，由．

故直线与平面所成角的正弦值为．

18．【详解】(1)

解：由正弦定理得．

因为，所以．

由，可得，

所以．

因为，所以，

所以，

(2)

解：由于，，有正弦定理，

所以，，

由于，

因为，所以．

因此

19．【详解】解：（1）双曲线（，）的渐近线方程为和，

由动点到两条渐近线，的距离之积为，

则，

又，即，

解得，，

则双曲线的方程为．

（2）证明：设直线的方程为，

与双曲线的方程联立，可得，

直线与双曲线的右支相切，可得，可得，

设直线与轴交于，则，

，

又双曲线的渐近线方程为，

联立，可得，

同理可得，

则．

即有面积为定值2．

20．【详解】（1）解：在等腰梯形中，作于，

则，所以，

连接，则，

因为，所以，所以，所以，

又因为，且，平面，所以平面，

又由平面，所以，

因为且，平面，所以平面，

又因为平面，所以，

因为，所以就是二面角的平面角，

在直角中，，

所以二面角的余弦值为.

（2）解：取的中点，连接，可得证四边形、均为平行四边形，

所以，所以为等腰梯形的外心，

取的中点，连接，可得，

因为平面，所以平面，

又因为，所以为四棱锥外接球的球心，

所以球的半径为，所以.

??

21．【详解】（1）令，即，

解得或，所以的定义域为，

而

，

所以为奇函数.

（2）令，则，

又，

设，且，

则

因为，且，

所以，，

因此，即在上单调递增，

又因为在上单调递增，

所以在上单调递增.

22．【详解】（1）解：因为数列为等差数列，，，

所以数列的公差为，，

则，又，

，故数列为等差数列.

（2）证明：假设数列中存在不同三项构成等比数列，

不妨设、、（、、均不相等）成等比数列，即，

由数列的通项公式可得，

将此式展开可得，

所以有，即，

所以，，所以，，

化简整理得，，与假设矛盾，

故数列中任意三项均不能构成等比数列.