2024年中考数学二轮培优专题 全等三角形与相似三角形（原卷版+解析版）.pdf

全等三角形与相似三角形

目录

题型01旋转中的全等模型

类型一对角互补模型

类型二对角互补且有一组邻边相等的半角模型

类型三手拉手旋转模型

类型四中点旋转模型

类型五通过旋转构造三角形全等

题型02构造相似三角形解题

类型一做平行线构造“A”型相似

类型二做平行线构造“X”型相似

类型三作垂线构造直角三角形相似

类型四作垂线构造“三垂直”型相似

题型03与相似三角形有关的压轴题

类型一运用相似三角形的性质与判定求点的坐标

类型二运用相似三角形的性质与判定求线段的最值

类型三利用相似三角形的判定和性质求“kAD+BD”型的最值(阿氏圆)

类型四相似中的“一线三等角”模型

类型五相似三角形与多边形综合

题型01旋转中的全等模型

类型一对角互补模型

1(20-21八年级上·江苏南京·阶段练习)如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

点M，N在边BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，求MN的长．

1

2(2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)综合与实践

数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展

思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．

折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如

图1．

(1)∠EAF=°，写出图中两个等腰三角形：(不需要添加字母)；

转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．

(2)线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为；

(3)连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则

CQ

=；

BM

剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．

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(4)求证：BM+DN=MN．

3(2020·湖南湘西·中考真题)问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA

=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线

段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，

先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFC≌△BFE，可得出结论，他的结论就是；

探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，

2

∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论(直接

写出“成立”或者“不成立”)，不要说明理由．

探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，∠MBN

绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．

实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心南偏

东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的

速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、

乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°