(3.15)--2.7.2 乘积拓扑的性质、投射及连续映射的等价刻画.ppt

2.映射连续的等价刻画;;积拓扑的性质：

命题1：投射是连续的满的开映射，且积拓扑

是使连续的最小拓扑.;证明：(1)任意

所以为满射.

(2)任意,有是中的开集,

是中的开集，所以连续.;(3),只需证明是的开集，设

为中的开集，则有或均为开集（可推广至有限），所以为开映射;

(4)最小性：设是使连续的任一拓扑，只需证明.由于的子基由和构成且它们均属于.即从而.;;映射连续的等价刻画：设的一个映射,连续

连续，即得分量均连续.;证明：由于连续，是积拓扑，所以连续，而

是两个连续映射的复合，所以连续。同理

也连续.

只需证明的子基中的任一成员在下的原像是开集

为此考查：由连续知

为开集，所以为开集，同理

也为开集，综上连续.;推论：任意取定,由规定映射

是嵌入映射.

证明：是一个同胚映射，显然是一一对应.

是投射的限制映射,是连续的.

的分量映射：为恒等映射，连续;

为常值映射也连续.利用上述定理，为连续映射，为同胚.

综上，为嵌入映射.;感谢关注