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微分几何
第六章测地曲率和测地线
§6.3.1测地平行坐标系
©Copyright
一、测地平行坐标系
.
对于只有第一基本形式的曲面，选取适当的坐标系，可以把
曲面的第一基本形式更简单地表示出来,可以更加容易解决一些几
何问题.
假定在曲面上有依赖一个参数的测地线族，如果对于曲面区
S
域上的每一点，有且只有一条属于的测地线经过，则称是曲面
上覆盖在该区域上的一个测地线族.
一、测地平行坐标系
.
假定有曲面上的一族测地线，于是根据第三章§4的讨论可知，
S
(u,v),
在内的任意一点的一个领域内必有参数系，使得分别就是
DU1
v
u曲线族和曲线族.实际上，测地线族在上给出一个可微的非零
D
切向量场，它同时也决定了一个与之正交的可微向量场，所以第三章§4
(u,v)
的定理1说明了这种参数系的存在性.这时，曲面的第一基本形式为
22
IEduGdv
一、测地平行坐标系
.
u
由于曲线是测地线，从刘维尔公式得到
1lnE
k0
g12Gv
即
E(u,v)
0（2）
v
v
这说明只是的函数，而与无关.因此可考虑参数变换
E(u,v)
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