(3.24)--6.5 Guass-Bonnet公式微分几何.pdf

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微分几何

第六章测地曲率和测地线

§6.5Gauss-Bonnet公式

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一、Gauss-Bonnet公式

在平面上三条测地线围成三角形的外角和是2，那么在曲面上三条测地线围成的三角形

外角和是多少？通过Gauss-Bonnet公式，我们可以找出答案.

定理（Gauss-Bonnet公式）假定曲线C是有向曲面S上的一条由n段光滑曲线组成

的分段光滑简单闭曲线，它所包围的区域D是曲面S的一个单连通区域，则

dsKd2,

gi

CDi1

其中是曲线C的测地曲率，K是曲面的Gauss曲率，是曲线在角点的外角.

一、Gauss-Bonnet公式

证明Step1:假设区域D是落在曲面S上的一个坐标域(U,(u,v))内的单连通区域,

并且(u,v)是曲面的正交参数系，则曲面的第一基本形式为

E(u,v)(du)G(u,v)(dv).

设区域D的边界曲线C的参数方程是uu(s),vv(s),s是弧长参数，(s)表示曲线C

与u曲线在s处所夹的方向角，由Liouville定理，曲线C的测地曲率为

d(s)1logE1logG

kcossin.

gds2Gv2Eu

将上式沿曲线C积分得到

一、Gauss-Bonnet公式

1logE1logG

kdsdcos

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