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微分几何
第二章曲线论
§2.6.1标准展开式与近似曲线
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类比导入
.
数学分析中，我们用曲率圆衡量曲线在一点的弯曲.
类比：用相同曲率、挠率的近似曲线衡量一般曲线？
一、标准展开式
.
nx(a,b)
已知：f(x)C[a,b]在任意点0邻近展开为Taylor展式：
121(n)nn
f(x)f(x0)=+f(x0)(x−x0)+f(x0)(x−x0)++f(x0)(x−x0)+o(x−x0)
2!n!
同样，对于一条三次连续可微的弧长参数曲线rr(s),s=(−,)，可在s0
处展开为12133（6.1）
r(s)r(0)=+sr(0)+sr(0)+sr(0)+o(s)，
2!3!
3
其中o(s)是一个向量函数，满足3
o(s)
lim30.（6.2）
s→0s
由Frenent公式，得
一、标准展开式
2
r(0)(0),r(0)(0)(0),r(0)−(0)(0)+(0)(0)+(0)(0)(0)，（6.3）
代入（6.1）得
232333
r(s)r(0)=+s−0s(0)+0s+0s(0)+00s(0)+o(s)，
6266
其中0(0),0
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