(3.38)--2.8.1 平面曲线的相对曲率与标架.pdf

微分几何

第二章第2.8节平面曲线曲线论

2.8.1平面曲线的相对曲率与标架

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平面曲线的挠率为零

一、平面曲线的Frenet标架

2O;i,j

在平面上取定一个正交标架(右手直角标架)

E

y

则平面曲线的弧长参数方程为

C

C(x,f(x))

C

r(s)(x(s),y(s))，s[a,b]s0()

(s)

它的单位切向量为slx

O

i

(s)x(s),y(s)cos((s)),sin((s))，

()()

()=∠(റ,റ())i(s)

其中是由到的有向角(允许相差的整

2

[a,b]

数倍),逆时针方向为正.当区间是闭区间时,函数可以

(s)

一、平面曲线的Frenet标架

成为定义在整个[a,b]上的连续可微函数.

将右旋/2,得到与(s)正交的单位向量(s),

(s)



(s)(cos((s)=+),sin((s)+))(=−sin((s)),cos((s)))(=−y(s),x(s))

22

这样,得到沿曲线的(平面)Frenet标架r(s);(s),(s).

C

(s)

y