(3.40)--2.8.2 平面曲线基本定理、旋转指标定理.pdf

微分几何

第二章第2.8节平面曲线曲线论

§2.8.2平面曲线基本定理

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റ()=ሶ(),ሶ()=cos(()),sin(())

റ

()==−sin(()),cos(())=−ሶ(),ሶ()

റሶ()()റ

()()=റ()=−sin(()),cos(())=().



r,

d(s)

(s)，

r,

dsr



=−.



r

一、平面曲线论基本定理

(s)[a,b]

定理(平面曲线论基本定理)设r是区间上的连续可

2

微函数.则在不计的一个刚体运动的情况下,存在唯一的平

E

面曲线,,它以为弧长参数,以给定的函数(s)

C:rr(s)s[a,b]sr

为相对曲率.

证明存在性.取s0[a,b]令

s

(s)()d，s[a,b]

sr

0

再令

一、平面曲线论基本定理

ss

x(s)cos()d,y(s)sin()d,s[a,b]

s()s()

00

则平面曲线C:r(s)x(