(3.45)--3.2.2 等值面微分几何.pdf

微分几何

第三章曲面的第一基本形式

§3.2.2等值面

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一、连续可微函数的等值面

.

3

设⊂是一个区域，(,,)是定义在上的连续可微函数.

对于一个常数∈ℝ，集合

−13

()=(,,)∈|(,,)=

称为函数的等值面.

−1

如果在()的每一点，都有

∇:=,,≠0，

−1

则等值面()是一个正则曲面.

一、连续可微函数的等值面

−1

事实上，设在(,,)∈()，有(,,)≠0，则方程

000000

(,,)=

在点的邻近确定了一个隐函数=(,)，使(,,(,))=，∀,

于是等值面f−1(c)局部地可以用参数方程表示为

റ=റ(,)=,,(,)，

由于rr(=−g,−g,1)0，等值面f−1(c)是正则曲面.

xyxy

pf(x,y,g(x,y))

在等值面上每一点，梯度向量是一个法向量，即是与切

平面垂直的向量（why？）.

dr

二、微分的几何意义

.

Srr(u,v)

设曲面的参数方程为，微分得到

dr(u,v)r(u,v)du=+r(u,v)dv（2.13）

uv

将u,v,du,dv看作4个独立的变量，则对于（2.13）中du,dv的不同取值，

就得到不同的切向量.有时也用比值du:dv来表示曲面上的一个切方向.

自然，这时要求du,dv不能全为0.

du,dvdr(u,v)TSr(u,v),r(u,v)

变量是切向量关于切空间的基底uv的分量，

p