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微分几何
第三章曲面的第一基本形式
§3.3.2第一基本形式的性质
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一、参数变换下的不变量
S
对曲面作可允许的参数变换
uu(u,v),vv(u,v),
并记r(u,v)r(u(u,v),v(u,v)).则一阶由微分形式的不变性得
drrdu=+rdvrdu=+rdv.(*)I=റ⋅റ=|റ|2
uvuv
记参数变换(3.5)的Jacobi矩阵为
uv
Juu,(3.10)
uv
则有vv
一、参数变换下的不变量
.
uv
rrr
=(,),
uuuuu
uvJ,(3.7)=(,)
rrr
vvv
vv
uv
(du,dv)(du,dv)uu(du,dv)J,(3.8)
uv
vv
因此在新的参数(u,v)下,度量矩阵成为
rrEF
EF
u=r,rJur,rJTJJT.(3.12)
(uv)(uv)
FGrrFG
vv
从而第一类基本量之间的关系为
一、参数变换下的不变量
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