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1.紧致空间与紧致子集;;量子力学;;命题2.14:紧致子集的判别条件：是的紧致子集在中的任一开覆盖都有有限子覆盖.
证明：设是在中的开覆盖，则是在子拓扑空间的开覆盖，由于是的紧致子集，那么存在的有限子集，是在子拓扑空间中的一个有限子覆盖，并且是在中的开覆盖中的一个有限子覆盖.;设是在子拓扑中的任何一个开覆盖，由子拓扑的定义，对的开集，使得,则所得到的构成在中的开覆盖，由条件知，存在的有限子集是在中的有限开覆盖.
于是是在中的有限开覆盖,所以
是的紧致子集.;命题2.15紧致空间的闭子集是紧致的
证明：设是紧致拓扑空间，是的闭子集。证的紧致性只需证明
在中的任一开覆盖存在有限子覆盖.
因为是闭集，所以是开集.于是在中添加后得到的一
个开覆盖.由于紧致，它有子覆盖是的有限子覆盖.
所以是紧致的.;例2.紧致，是的闭集,所以也紧致。
而开集不行，如是它的开子集，不是紧致的.
;举例说明;;命题2.16：紧致空间在连续映射下的像也是紧致的.
证明：设和是两个拓扑空间，映射连续，只需证明
紧致。设是在中的开覆盖，则是的
开覆盖，有子覆盖即
于是
因此是的子覆盖，再由紧致（任一开覆盖有有限子覆
盖），所以紧致
;注：紧致性是拓扑性质,可以用来区分不同的拓扑空间.
应用举例：
因为不是紧致的，是紧致的。又因为紧致性是拓扑性质，所以
与不同胚.
因为不是紧致的，(单位圆周)是紧致的，又因为紧致性是拓扑性质，所以与不同胚.;推论：定义在紧致空间上的连??函数有界，并且达到最大、最小值.
证明：设是紧致的，是上定义的连续函数.因为紧致，
是连续的，所以是的一个紧致子集.因此,是的一个
有界闭集，所以有界.设分别是的最大值与最小值，则存
在，使得即在处达到最大、最小值.
;感谢关注
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