课时规范练64　离散型随机变量的均值与方差.docx

课时规范练64离散型随机变量的均值与方差

基础巩固组

1.某人进行一项实验,若实验成功,则停止实验,若实验失败,再重新进行实验,若实验3次均失败,则放弃实验,若此人每次实验成功的概率为23,则此人实验次数ξ的数学期望是(

A.43 B.139 C

答案:B

解析:由题意可得ξ=1,2,3,每次实验成功的概率为23,则失败的概率为1

P(ξ=1)=23,P(ξ=2)=13×23=29,P(ξ

ξ

1

2

3

P

2

2

1

所以此人实验次数ξ的数学期望是Eξ=1×23+2×29+3

2.(2021湖北武汉二中期末,5)随机变量X的分布列如表,若EX=2,则DX=()

X

1

2

4

P

1

a

b

A.65 B.43 C

答案:D

解析:由分布列的性质以及数学期望公式可得EX=12+2

所以DX=12×(1-2)2+14×(2-2)2+14×(4-2)

3.已知5台机器中有2台存在故障,现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元,则所需检测费的均值为()

A.3200 B.3400

C.3500 D.3600

答案:C

解析:设检测的机器的台数为X,则X的所有可能取值为2,3,4.P(X=2)=A2

P(X=3)=C21C31A22+A33A53=310,P(X=

所以所需的检测费用的均值为1000×3.5=3500.

4.(2021浙江湖州期末)一个口袋中有7个大小、质地完全相同的球,其中红球3个、黄球2个、绿球2个.现从该口袋中任取3个球,设取出红球的个数为ξ,则Eξ=.

答案:9

解析:依题意,设取出红球的个数为ξ,则ξ=0,1,2,3,而口袋中有红球3个、其他球4个,故P(ξ=0)=C43C73=435,

P(ξ=2)=C32C41C73=

故Eξ=0×435+1×1835+2

5.已知随机变量X~B(n,p),若EX=3,DX=2,则p=,P(X=1)=.?

答案:1

解析:因为随机变量X~B(n,p),EX=3,DX=2,

所以np=3,np(1-p)=2

P(X=1)=C

6.某投资公司在2021年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择.

项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为79

项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为3

针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.

解:若按“项目一”投资,设获利为X1万元,则X1的分布列为

X1

300

-150

P

7

2

∴EX1=300×79+(-150)×2

若按“项目二”投资,设获利为X2万元,则X2的分布列为

X2

500

-300

0

P

3

1

1

∴EX2=500×35+(-300)×13+0×115=200.DX1=(300-200)2×79+(-150-200)2×29=35000,DX2=(500-200)2×35+(-300-200)2

∴EX1=EX2,DX1DX2,故项目一、项目二获利的数学期望相等,但项目一更稳妥.则建议该投资公司选择项目一投资.

综合提升组

7.(2021浙江三模)已知离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,且P(X≥1)=23,P(X=3)=16,若X的数学期望EX=54,则D(4X-3)=

A.19 B.16 C.194

答案:A

解析:由题知P(X=0)=13

设P(X=1)=a,则P(X=2)=12-a

因此EX=0×13+1×a+2×12-a+3×

解得a=14,因此离散型随机变量X

X

0

1

2

3

P

1

1

1

1

则DX=13

因此D(4X-3)=16DX=19.故选A.

8.(2021浙江二模)已知0k1,0x1,随机变量X的分布列如下

X

0

2x

41

P

k

1

1

当EX取最大值时,DX=()

A.1 B.2 C.3 D.9-

答案:A

解析:根据随机变量分布列的性质,得k+12+14=1,

所以EX=0×14+2x×12+

(方法1)由不等式a+b22≤a

当且仅当x=22时,等号成立,此时随机变量X

X

0

2

22

P

1

1

1

所以DX=(2-0)2×

(方法2)令x=sinθ,θ∈0,π2,则1-x2=cos

所以EX=x+1-x2=sinθ+cosθ=2sinθ+π4

当且仅当θ=π4,即x=22时,等号成立,此时随机变量X

X2

0

2

8

P

1

1

1

故E(X2)=3,所以DX=E(X2)-(EX)2=3-2=1.故选A.

9.一个不透明袋中放有大