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1.1.1均匀弦的微小横向振动

问题引入：

弦振动方程由法国数学、物理学家D’Alembert于1746年首次

研究并提出，是一大类偏微分方程的典型代表。

研究问题:均匀弦的微小横振动

假设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线方向拉紧，只受弦本

身的张力和重力影响。我们研究弦作微小横向运动时，弦上各点的运

动规律。

问题引入：

均匀：介质密度相同

柔软：弦不抵抗弯曲，即张力方向总是沿着弦在该点的切线方向；

细弦：一维问题；

无外力作用；

“微小”振动：振动幅度及弦在任一点的切线倾角很小；

“横向”振动：横波，即运动与传播方向垂直。

简化假设：

简化假设：

u(1)弦是柔软的，即

T’

’不抵抗弯曲，弦上的

M

ds

任意一点的张力沿弦

M

的切线方向；

T(2)振幅极小，张力

与水平方向夹角很小，

0

xx+dxx仅考虑角量的一阶小

图1-1量，略去二阶小量。

微元法：

1.在整个系统中分出一个小部分，分析邻近部分与这

一小部分的相互作用；

2.根据物理学规律，用数学表达式来表示这个作用；

3.通过对表达式的化简、整理，即得到所研究问题的

数学物理方程。

牛顿运动定律：

u

弦的平衡位置为轴，两端分别固定在

x

x=0和xl处。MT



ds

u(x,t)xM

物理量：表示弦上横坐标为的



tgds

点在时刻的位移。T

xxdxx

横向：TcosTcos0

纵向：TsinTsingdsma

牛顿运动定律：